Thường khi lái xe hơi đi đâu xa chúng ta cần đến bản đồ. Bản đồ là một tờ giấy biểu diễn một vùng đất, tùy theo rộng hẹp mà thể hiện núi sông, đất liền và biển cả, kèm theo những địa danh, trên đó giúp cho ta tìm thấy đường đi từ một địa điểm A tới một địa điểm B. Theo tiếng Anh, người ta dùng chữ Cartography, theo chữ Hy Lạp Chartis là bản đồ và Graphein là viết (hay hoạ). Muốn dùng chữ cho chính xác ta gọi là phép hoạ địa đồ và định nghĩa như là biểu diễn trên một mặt phẳng một phần hay toàn thể mặt địa cầu. Từ những hoạ đồ đầu tiên vẽ bằng tay trên giấy bản hay trên một tấm da, theo trí nhớ và đôi khi thêm phần tưởng tượng, cho đến nay ngành họa đồ bao gồm cả khoa học, kỹ thuật và mỹ thuật, nhằm mục đích trình bầy cho người xử dụng bản đồ những điều cần thiết để khai thác.
Như ta đã thấy trong một bài viết trước đây, toán học, qua môn lượng giác học, đã giúp cho ta đo được một cách chính xác các chiều dài và chiều rộng của địa cầu. Giờ đây, muốn thiết lập những địa đồ, ta lại cần đến môn hình học, một môn học đã được coi là nữ hoàng của các môn toán học .
Nếu địa diện là một mặt phẳng thì sự biểu diễn không thành vấn đề quan trọng vì ta chỉ cần thu gọn địa diện trên khuôn khổ một mặt giấy theo một tỷ lệ lớn hay nhỏ. Nhưng địa diện có hình một khối bầu dục tròn xoay, hay có thể tạm gọi là một hình cầu và mặt cầu lại không khai triển được trên một mặt phẳng, giống như vỏ một quả cam không thể làm dẹt ra trên một mặt phẳng được. Trước hết ta dùng tọa độ địa dư để ấn định vị trí của một điểm trên mặt địa cầu. Địa cầu quay chung quanh một trục, hai đầu là những điểm P gọi là Bắc cực và P’gọi là Nam cực (Hình 1) . Vòng tròn lớn trên mặt địa cầu và nằm trong mặt phẳng thẳng góc với trục PP’gọi là xích đạo. Xích đạo chia địa cầu thành hai miền, Bắc bán cầu và Nam bán cầu.
Lấy một điểm M trên địa cầu thì ta có :
Kinh tuyến của điểm M là nửa vòng tròn lớn PMP’, giới hạn ở hai cực .
Vĩ tuyến của điểm M là vòng tròn nhỏ, tiết diện của địa cầu bởi một mặt phẳng qua M thẳng góc với PP’.
Hình 1. Toạ độ của một vị trí M trên địa cầu
Theo một thỏa ước quốc tế, người ta chọn kinh tuyến chạy qua thiên văn đài Greenwich, ở gần London, biểu diễn bởi điểm G trên hình, làm kinh tuyến gốc. Sau đó định vị trí những kinh tuyến khác bằng cách đo những góc của cung AM’, gọi là kinh độ, dọc theo xích đạo với trị số dương từ 0 đến 1800 nếu đi về phía Đông và trị số âm nếu đi về phía Tây. Cũng như vậy , vị trí của vĩ tuyến được ấn định bởi số đo của cung M’M dọc theo kinh tuyến với trị số dương từ 0 đến 900 , nếu đi về phiá Bắc, và dùng trị số âm nếu đi về phía Nam. Số đo này gọi là vĩ độ. Tóm lại, cũng như tọa độ của một điểm trong mặt phẳng, mà ta đã gọi là hoành độ và tung độ, bất kỳ một điểm M nào trên mặt địa cầu cũng được định vị trí bằng hai tọa độ địa dư gọi là kinh độ và vĩ độ. Tuy không có phép nào để trải mặt hình cầu lên một mặt phẳng, nhưng ta có thể thiết lập địa đồ bằng cách làm tương ứng mỗi điểm trên mặt địa cầu thành một điểm trên mặt phẳng. Để làm như vậy, các nhà toán học dùng những phương pháp chiếu. Sau đây là mấy phương pháp thực dụng .
Phép Chiếu Trực Họa
Ta có thể biểu diễn một mặt bán cầu bằng cách chiếu thẳng lên mặt phẳng xích đạo theo như Hình 2. Bằng cách này ta được một địa đồ như ở Hình 3 . Các kinh tuyến chiếu xuống thành những bán kính của xích đạo. Các vĩ tuyến chiếu xuống thành những vòng tròn đồng tâm với xích đạo. Trong phép chiếu này, ở khoảng giữa địa đồ, sự biến dạng rất nhỏ, nhưng càng ra xa tâm điểm, sự biến dạng càng tăng. Vì vậy trong phép chiếu trên mặt phẳng xích đạo, chỉ những vùng ở hai cực là không bị biến dạng nhiều. Người ta đặc biệt dùng phép chiếu trực họa để vẽ những địa đồ Bắc và Nam cực.
Hình 2. Chiếu trực họa
Hình 3. Bản đồ trực hoạ
Phép Chiếu Mercator
Ta hình dung một hình trụ tròn xoay ngoại tiếp với địa cầu theo đường xích đạo . Những mặt phẳng kinh tuyến cắt hình trụ theo những đường sinh song song . Những mặt phẳng vĩ tuyến cắt hình trụ theo những hình tròn
Hình 4. Phép chiếu Mercator
Nếu ta cắt hình trụ dọc theo một đường sinh rồi khai triển trên một mặt phẳng ta có được một địa đồ mà những kinh tuyến là những đường thẳng song song và cách đều nhau và những vĩ tuyến là những đường thẳng song song và thẳng góc với những kinh tuyến . Nếu ta gọi a, b, c , d là những hình chiếu của những điểm A , B , C, D trên mặt địa cầu thì ta nhận thấy theo phép tính diện tích một cầu đới, thì hai hình ABCD trên mặt địa cầu và abcd trên mặt hình trụ, có diện tích bằng nhau. Ta nói là phép chiếu hình trụ như thế này bảo tồn những diện tích. Nhưng nếu dùng trong ngành hàng hải, và sau này trong hàng không thì ta cần những địa đồ theo phép chiếu bảo tồn những góc. Như thế là vì theo hải hành và không hành, cho từng chặng đường, người ta luôn luôn giữ hướng đi không đổi đối với phương Bắc, và như thế góc đo trên địa đồ cần phải chính xác. Nhà chế tạo bản đồ hàng hải Gerardus Mercator (1512-1594) có ý kiến sửa đổi phép chiếu hình trụ ở trên làm thành một phép chiếu mà những góc đo ở trên điạ cầu và những góc đo tương ứng ở trên điạ đồ bằng nhau . Trong hình học người ta gọi là phép chiếu bảo tồn góc và vấn đề này cũng tạo dựng nên một lý thuyết thật phong phú trong toán học có liên hệ đến cả hai môn hình học và giải tích học. Theo phương pháp của ông Mercator thì muốn cho một hình vẽ trên địa cầu và hình biểu diễn của nó trên đồ bản có những góc đo bằng nhau thì hai hình đó phải là những hình đồng dạng, nghĩa là những cạnh phải tỷ lệ với nhau. Nhưng theo phép chiếu hình trụ đã tả trên đây thì bắt đầu bằng cung AB trên mặt địa cầu, càng lên những vĩ tuyến cao thì những cung như CD lại càng nhỏ đi , trong khi ấy thì ở trên địa đồ, cung ở vĩ tuyến cao như cung cd vẫn bằng cung ab ở xích đạo. Để sửa đổi lại, càng lên vĩ tuyến cao, cạnh ad lại càng phải kéo dài ra để tỷ số giữa những cạnh của hai hình được giữ nguyên. Kết quả là địa đồ Mercator giữ nguyên những góc, rất tiện lợi cho hàng không và hàng hải, nhưng trên cùng một địa đồ thì tỷ lệ thay đổi với vĩ độ. Trên những địa đồ Mercator, ta thường thấy đảo Greenland trên chỏm Bắc bán cầu đã bị biến dạng nhiều nên trông rất lớn . Sự thực, nếu đối chiếu diện tích thực sự thì so với tiểu bang Texas của Hoa Kỳ, nó chỉ lớn gấp ba lần mà thôi .
Hình 5. Nhà thiết kế bản đồ hàng hải Gerardus Mercator
Dùng một địa đồ Mercator, một con tầu hay một phi cơ muốn đi từ điểm A tới điểm B phải luôn luôn giữ một phương hướng không đổi, chẳng hạn làm cho trục con tầu luôn luôn làm một góc G với phương Bắc, là phương cuả kinh tuyến. Nhưng nếu ta lấy một địa cầu mẫu để làm một thí nghiệm, thì sẽ thấy rằng nếu đi theo một đường luôn luôn giữ nguyên một góc, chẳng hạn G = 450 với phương Bắc thì ta sẽ đi theo một đường vòng hơi dài vì thực sự là một đường soắn ốc vẽ trên mặt địa cầu, trong khi ấy thì đường ngắn nhất là vòng tròn lớn trên hình cầu. Đường ngắn nhất giữa hai điểm A và B trên địa cầu gọi là trực đạo và là cung của vòng tròn lớn chạy qua hai điểm ấy. Còn đường cũng chạy qua hai điểm A và B và giữ nguyên một hướng đối với phương Bắc lại dài hơn và gọi là tà đạo. Trên Hình 6, đường trực đạo trông dài hơn là vì vẽ trên địa đồ Mercator và nằm ở miền vĩ tuyến cao nên bị biến dạng. Với những chặng đường ngắn thì sự sai biệt không đáng kể, nhưng lấy thí dụ một hải hành vượt Đại Tây Dương, đi từ Le Havre (Pháp) đến New York (Hoa Kỳ) thì theo tà đạo đường dài 5365 km và trực đạo ngắn hơn chỉ dài 5200 km, với sai biệt là 165 km, tầu có thể tới chậm gần nửa ngày. Trên thực tế, khi lái tầu thủy hay phi cơ, người ta giữ luôn một hướng đi, nên để dung hòa cả hai, người ta trước hết vẽ trực đạo cho những hành trình dài rồi ở trên đó lấy những điểm để phân thành những quãng ngắn. Từ điểm nọ đến điểm kia người ta đi theo tà đạo .
Hình 6. Bản đồ Mercator và đường tà đạo
Phép Chiếu Lambert
Trước hết ta hình dung một hình nón tròn xoay ngoại tiếp với địa cầu theo một vĩ tuyến chọn lựa trước, chẳng hạn vĩ tuyến có cung là AB như trên Hình 7 . Những mặt phẳng kinh tuyến cắt hình nón theo những đường sinh . Những mặt phẳng vĩ tuyến cắt hình nón theo những vòng tròn .
Hình 7. Phép chiếu Lambert
Nếu ta cắt hình nón dọc theo một đường sinh rồi khai triển trên một mặt phẳng ta có được một địa đồ mà những kinh tuyến là những đường thẳng đồng quy và hợp với nhau thành những góc bằng nhau. Trên địa đồ, những vĩ tuyến là những hình tròn có tâm là điểm đồng quy ở trên .
Phép chiếu hình nón như thế này không phải là một phép chiếu bảo tồn những góc và không thể dùng cho ngành hàng hải và hàng không được . Để dùng cho hàng hải như những địa đồ theo phép chiếu Mercator, ông Lambert (1728-1777) là một toán gia vào thế kỷ 18 đã tìm ra được một công thức làm dãn vĩ độ, giống như phép tính của Mercator, nhưng phức tạp hơn, để cho những hình trên mặt địa cầu và những hình tương xứng trên địa đồ đồng dạng với nhau và như thế phép chiếu hình nón trở thành phép chiếu bảo tồn góc. Trên địa đồ theo phép chiếu Lambert, những miền chung quanh vĩ tuyến tiếp súc, các hình được biểu diễn đúng kích thước. Càng ở xa vĩ tuyến tiêp súc, các hình biến dạng đi nhiều.
Hiện nay các nước tân tiến đều có Nha Địa Dư để trông coi về sự thiết lập địa đồ. Khi dùng phép chiếu Lambert, tùy theo chiều dài theo hướng Bắc Nam của nước đó, người ta thường dùng hai, hay ba vĩ tuyến tiếp súc để có thêm chính xác, đặc biệt là khi dùng địa đồ trong những việc tác xạ .
Ngoài những địa đồ dùng trong hải hành và không hành phải cần đến những phép chiếu bảo toàn những góc như đã trình bầy ở trên còn những bản đồ khác đủ kiều, đủ loại dùng cho du lịch hay thương mại thì những nhà xuất bản dân sự chú trọng đến cách trình bầy cho thật mỷ thuật, mầu sắc sao cho được rõ ràng. Những phụ chú, hay tên những địa danh như tên sông ngòi, đô thị hay các quốc gia có thể dùng nhiều thứ tiếng khác nhau và không cần theo một quy luật quốc tế nào. Vì vậy một bản đồ làm ở Anh quốc có thể dùng tên Germany để chỉ Đức quốc trong khi bản đồ làm ở nước này lại dùng tên Deutschland, và cũng một bản đồ tương tự nếu in ở Pháp quốc sẽ đề là Allemagne. Cũng có những trường hợp mà tên chính thức dùng lại không thống nhất. Như nước Miến Điện đã được đổi tên chính thức là Myanmar , nhưng nhiều quốc gia không công nhận chính phủ quân phiệt hiện thời vẫn tiếp tục dùng tên Burma trên những bản đồ ấn hành. Một đôi khi có những trường hợp đổi tên chính thức của một địa danh nhưng không được những quốc gia khác trên thế giới sốt sắng làm theo. Vì thế nên có những bản đồ mới in tiếp tục dùng tên Saigon thay vì đổi mới thành Ho Chi Minh City, hay dùng tên thành phố Bangkok đã quen thuộc thay vì dùng tên chính thức là Krung Thep .
