Ngày 28/09/2007 - GS Nguyễn Xuân Vinh

Sự Kém Hiểu Biết của

Thám Tử Sherlock Holmes

Trong nền văn học thế giới, về bộ môn truyện trinh thám, người đã thành công nhất phải là nhà văn hào Arthur Conan Doyle, người đã tạo dựng nên thám tử kỳ tài là Sherlock Holmes, là một thám tử có biệt tài dùng khoa học suy luận để đoán sự việc một cách thần diệu. Chuyện về Sherlock Holmes được kể qua lời người bạn đồng cư là bác sĩ John H. Watson như sau.

Qua người trung gian giới thiệu, Watson và Holmes được gặp nhau để thỏa thuận thuê chung một căn gác ở số nhà 221 B đường Baker. Đó là vào năm 1878. Từ đó căn gác này đã là phòng làm việc của Sherlock Holmes, tiếp khách hàng đến nhờ điều tra hay giải quyết hộ những việc khó khăn. Những người này đã ở mọi từng lớp trong xã hội đương thời, từ một vương công có địa vị cao sang tột đỉnh ở Âu châu tới một thám tử ở Scotland Yard, Ty Công an điều tra ở Anh quốc, mà mỗi lần bị bế tắc trong công việc đều đến xin lĩnh ý của bậc thầy là Sherlock Holmes. Nhà văn Conan Doyle đã dựng lên Sherlock Holmes như là một người có thật, đến nỗi người đọc say mê nhìn thấy được tường tận như hiện trước mắt căn gác ở đường Baker với bàn kê ở góc tường, chiếc ghế sofa nơi Sherlock Holmes thường nằm lim dim đôi mắt để suy tư. Cho đến nay mỗi lần nhìn trong tủ kính một cửa hàng mà thấy để một chiếc mũ có hai tai chụp và một chiếc tẩu thuốc cong là khách coi nghĩ ngay đến nhà thám tử quen thuộc từ thế kỷ trước mà quên rằng đó chỉ là một con người tưởng tượng. Ngay cả ở thời đại nguyên tử này mà thỉnh thoảng nhà bưu điện Anh quốc vẫn còn nhận được những bức thư đề cho: Mr Sherlock Holmes, Master detective, 221 B Baker St., London.

Hình 1: Thám tử Sherlock Holmes theo sự mô tả của Arthur Conan Doyle.

Qua sự mô tả của người bạn đồng cư là bác sĩ Watson, hay nói cho đúng hơn là qua ngòi bút của Arthur Conan Doyle, thì Sherlock Holmes là một con người rất đặc biệt, các môn hiểu biết nhiều khi thiên lệch một cách quá mức. Lấy một tỷ dụ về môn thảo mộc học thì nhà thám tử biết rất tường tận về các độc dược và phản ứng hiện ra ở người bị đầu độc, nhưng ngược lại thì ông lại không biết một tý gì về việc bón sới, trồng cây cảnh. Về chính trị thì Sherlock Holmes là một cuốn tự điển sống khi cần biết về lý lịch các gia đình qúy tộc ở Âu châu nhưng lại rất mù mờ về tuơng quan giữa các nước. Kể những môn mà sự hiểu biết của nhà thám tử này hoàn toàn là một số không thì bác sĩ Watson liệt kê nhũng môn: văn học, triết học và thiên văn. Có một hôm bác sĩ Watson đã phải kêu trời lên, và đúng thật là ông kêu trời, vì tình cờ qua một câu chuyện mà ông biết được rằng nhà thám tử đại tài Sherlock Holmes không hề hay biết lý thuyết của nhà thiên văn học Ba Lan Copernicus (1473-1543) là trái đất là một hành tinh di chuyển quanh mặt trời. Sau đây là sơ luợc câu chuyện trao đổi giữa hai người:

"Thấy tôi sửng sốt như vậy, Sherlock Homes mỉm cười mà nói rằng:

  Ông bạn ngạc nhiên lắm hay sao? Nay tôi đã biết được lý thuyết chuyển động của trái đất như vậy, tôi sẽ làm hết sức để quên nó đi.

  Trời ơi anh định quên thật à?!

Tôi đã giơ tay lên trời mà kêu lên như vậy. Sherlock Homes trả lời với một giọng rất thành thực:

  Phải đấy! Ông bạn thử nghĩ coi, bộ óc con người giống như là căn gác chứa đồ. Chỉ những anh nào ngu dại mới chứa chất đầy những hiểu biết lộn xộn, bạ cái gì cũng nhặt nhạnh. Người nào khôn ngoan thì trên gác đồ chỉ để có thứ tự những đồ dùng cần thiết, hay những vật liệu có hữu ích, cần thứ gì là có ngay để hoàn thành công việc. Căn gác đóng khung ở mấy bức tường đâu có làm dãn nở ra được. Óc con người cũng như vậy. Nếu đã chót biết thứ gì mà không cần thiết thì phải quên đi để dành chỗ cho những hiểu biết có ích lợi cho công việc hơn.

Nghe vậy, tôi phản đối ngay:

  Nhưng mà Thái Dương Hệ đâu phải là thứ gì không quan trọng.

Sherlock Holmes đã cắt đứt ngang câu chuyện khi anh ta sẵng giọng:

  Cái đó quan trọng gì với tôi?! Ông bạn nói chúng ta chuyển động vòng quanh mặt trời. Nhưng giả sử chúng ta chuyển động quanh mặt trăng hay là gì nữa thì cũng không ảnh hưởng gì đến công việc truy tầm thủ phạm tội lỗi, giúp người ngay, trừ kẻ gian mà tôi đang hành sự".

Chúng ta hãy tạm coi mình như những độc giả say mê đọc truyện trinh thám của Sherlock Holmes và coi nhân vật này và bác sĩ Watson có thực thì khoảng 70 năm sau khi xẩy ra chuyện đối thoại kể trên ở gác phố số nhà 221 B đuờng Baker ở London, ở Việt Nam, nước có hơn bốn ngàn năm văn hiến, người viết cuốn sách này bắt đầu học chương trình Trung học chuyên khoa, tức là ba năm cuối của bậc Trung học. Thế hệ của tôi đã được học theo chương trình giáo dục của giáo sư Hoàng Xuân Hãn soạn thảo, nghĩa là nặng về khoa học. Đó là điều may mắn cho chúng tôi vì nhiều người sau này đã rất xuất sắc về những môn khoa học tự nhiên như "Toán, lý, hoá, cơ, thiên văn" . Tôi đóng trong ngoặc kép những danh từ khoa học này vì đó là những chữ đã được đề ở bìa cuốn sách "Danh Từ Khoa Học" Pháp-Việt giáo sư Hoàng Xuân Hãn có công soạn thảo, mở đầu cho kỷ nguyên mới dùng tiếng Việt để giảng dậy các môn toán và khoa học ở nước nhà. Ngoài bìa cuốn sách có hình vẽ mặt trời, trăng, sao và địa cầu và cả một ngôi sao chổi có đuôi dài. Điều này chứng tỏ là giáo sư Hoàng Xuân Hãn đặc biệt chú trọng về thiên văn học.

Cũng khoảng những năm cuối của những năm bốn mươi mà tôi bắt đầu đọc say mê những chuyện trinh thám của Sherlock Holmes. Tôi tuy thích Sherlock Holmes nhưng hoàn toàn không đồng ý với nhà thám tử về sự vô dụng của môn thiên văn học.

Hình 2: Cuốn Danh Từ Khoa Học của GS Hoàng Xuân Hãn mở đầu cho sự dùng tiếng Việt để giảng dậy các môn Toán và Khoa học ở nước nhà.

Những ai đã tìm hiểu sự tiến triển của toán học qua các thời đại chắc sẽ nhận thấy rằng toán học nẩy sinh từ nhu cầu cuộc sống trong xã hội loài người và, qua các thời đại, những nhà toán học kiệt xuất như Laplace, Lagrange, Legendre, Gauss, Poincaré, ... đều được gọi là những nhà thiên văn học vì đã có những công trình có giá trị lâu dài về môn cơ học sự chuyển động các thiên thể.

Chúng ta ai cũng có lúc mơ màng nhìn trời ban đêm, suy tư muốn biết về những gì huyền bí đang ở trên những mảnh trăng sao hay ở tận cùng vũ trụ. Dù không mơ màng chăng nữa thì thuở nhỏ cũng đã được học những câu thơ lục-bát giản dị nhưng chứa đầy tâm tình:

"Đêm qua ra đứng bờ ao,

Trông cá, cá lặn, trông sao, sao mờ."

Nói một cách thiết thực thì đời sống của chúng ta được điều tiết theo sự chuyển động quanh trục của trái đất và cùng một lúc theo sự chuyển động của trái đất chung quanh mặt trời. Từ đó mà sinh ra ngày và đêm rồi tháng, năm và bốn mùa xuân, hạ, thu và đông. Hoa lá cũng theo mùa mà tươi thắm, khi hoa sen tàn cuối mùa hạ thì đã bắt đầu có hoa cúc tới với mùa thu để giữ mầu tươi thắm cho tạo vật. Nhưng quan trọng hơn cả là sự trồng trọt ngũ cốc để nuôi sống con người cũng phải dựa theo thời tiết các mùa và thời tiết này cũng thay đổi với các miền đới trên mặt địa cầu. Theo chương trình giáo dục của ông Hoàng Xuân Hãn thì ở năm cuối cùng bậc trung học, ở những lớp đệ nhất khoa học toán và đệ nhất khoa học thực nghiệm, có môn thiên văn học dậy cho chúng ta những hiểu biết căn bản về những chuyển động của các hành tinh trong thái dương hệ và những sự phân chia tháng năm và các mùa, cùng hình thể và cấu trúc của địa cầu, mặt trăng và các hành tinh lớn. Theo thiển ý của tác giả bài này, đó là những hiểu biết tối thiểu cho một con người văn minh sống trên mặt địa cầu. Ngay cả triều đại những nhà vua cuối cùng ở nước ta, tuy có những hoàng đế thủ cựu, không chịu canh tân đất nước theo với sự tiến triển của người Tây phương, nhưng triều nào cũng bổ nhiệm những vị quan hiểu biết về thiên văn, để làm việc tại toà Khâm Thiên Giám hàng năm làm lịch, giữ cho ngày tháng theo những tuần trăng tròn và khuyết, điều hòa theo những tiết xuân, hạ, thu, đông để người dân theo đấy mà gieo mạ, trồng lúa, gặt hái đúng kỳ, sau khi tồn thóc có thể nghỉ ngơi, mở hội hè đình đám.

Khi còn ở quê nhà, vì lưu tâm tới nền giáo dục trong địa hạt khoa học nên tôi cũng đã viết và cho xuất bản mấy cuốn sách toán trung học, trong đó có một cuốn về "Thiên Văn Học" cũng do nhà xuất bản Trường Thi là nhà sách đã in cuốn Danh Từ Khoa Học phát hành. Sau này khi đã sang sinh sống ở Hoa Kỳ, tôi được nhà xuất bản cho biết sách đã bán hết và ông giám đốc muốn tôi duyệt lại để cập nhật hoá cuốn sách cho lần in mới. Công việc này thật là một cố gắng vô vụ lợi về văn hoá của tôi vì tác quyền mỗi lần in tính ra chỉ bằng một ngày lương của một giáo viên tiểu học nơi tôi cư ngụ. Vào cuối những năm sáu mươi, khi chưa duyệt xong cuốn Thiên Văn Học thì tôi được tin là Bộ Giáo Dục Việt Nam Cộng Hòa đã sửa đổi lại chương trình Trung Học, và môn Thiên Văn Học bị bãi bỏ. Trong khi ấy thì ở Hoa Kỳ đang có nỗ lực để hoàn thành việc đưa người lên thám hiểm mặt trăng và cùng một lúc có chương trình thám sát đo lường để tìm hiểu thêm về cấu trúc của địa cầu và môi trường không khí và bức xạ quanh địa cầu. Đôi khi thăm các lớp tiểu học chúng ta cũng có thể thấy các em bé ở những lớp Một và lớp Hai được các bà giáo chỉ dẫn làm những mô hình các hành tinh và thái dương hệ bằng giấy.

Việc làm này của Bộ Giáo Dục làm tôi nghĩ đến lý luận của thám tử Sherlock Holmes và tôi nghĩ rằng Nghị Định ban hành không phải chỉ làm cho kiến thức học sinh lui lại gần một thế kỷ mà đã tổn hại tới truyền thống văn hoá của đất nước.

Hình 3: Môn Thiên Văn Học trong chương trình Tú Tài II

Như môn Cosmographie trong chương trình Pháp.

Khi viết những dòng này, trước mặt tôi có cuốn Chương Trình Trung Học in năm 1970 và ở trang nhất có những lời mở đầu:

"... trước sự tiến bộ không ngừng của tư tưởng và khoa học, việc cải tiến giáo dục phải được coi là một công tác thường xuyên."

Ý kiến này thật là tốt nhưng chỉ là lời nói văn hoa mà không được thi hành. Nói với bạn bè gửi sang cho cuốn Chương Trình Trung Học được cập nhật hoá, khi nhận được tôi đã đọc ngay và hy vọng rằng môn Thiên Văn Học bị bãi bỏ những năm truớc nay được hoàn trả lại trong phần dậy toán. Nhưng buồn thay, môn học này hoàn toàn không có trong chương trình mới từ lớp Sáu cho tới lớp Mười hai. Đọc lại cuốn sách dầy 207 trang nhiều lần, tôi đã tìm được ra rằng phần kiến thức cần thiết nói trên được đặt trong môn Địa lý Hình thể dậy ở lớp Sáu, và được nhắc lại ở lớp Mười. Theo ước lượng của tôi thì ở mỗi lớp học sinh sẽ được chừng 8 giờ học theo chương trình như sau:

Đại cương về địa cầu:

1. Địa cầu trong không gian.

2. Hình thể địa cầu.

3. Kinh tuyến, Vĩ tuyến, Bắc Nam chí tuyến, Bắc Nam cực khuyên.

4. Chuyển động của địa cầu và hậu quả (ngày, đêm, giờ, các mùa,

phương hướng)

5. Địa đồ.

Ở câu mở đầu của phần này lại có sự chỉ dẫn là: "Chú trọng đến định nghĩa và mô tả". Một em học sinh ở lớp Sáu, vào khoảng mười một hay mười hai tuổi tất nhiên không có kiến thức toán học của học sinh lớp Mười hai khi xưa được học môn Thiên Văn. Nếu theo lối học nằm lòng mô tả sự vật, như theo trong dự định của chương trình mới, thì sự hiểu biết về địa lý này sẽ được thu nhận một cách gượng ép, không thể nào gọi là đặt trên căn bản khoa học được.

Đêm qua, tôi lại ra đứng bên cạnh bờ hồ, nhìn ánh trăng rung rinh trên mặt nước, và ngoài xa có lấp lánh ánh đèn mấy chiếc thuyền câu. Mọi sự vật đều yên lặng và vô cùng rộng lớn. Nơi đây là xứ người. Tôi nghĩ đến quê hương xa, đến những người tuy đứng bên những bờ ao nhỏ bé nhưng cũng đã từng được nhìn những khung trời rộng lớn mà nay suy tư thả hồn theo ánh tinh đẩu ở vũ trụ xa vời. Để bù lại sự thiếu sót trong chương trình giáo dục bằng tiếng Việt của một thời đã qua và cũng để có tài liệu bằng tiếng Việt về những kiến thức tối thiểu về Thiên Văn Học cho thế hệ trẻ mai sau đọc, tôi đã quyết định sẽ dành thì giờ để viết một loạt bài, trước hết về hình thể và cấu trúc của địa cầu, nơi sinh sống của loài người, và sau đó tới chuyển động của địa cầu và vị trí của quê hương Việt Nam trên mặt địa cầu. Đọc lên, các bạn sẽ hiểu rằng tại sao ngày đêm và tháng năm ở quê hương xa lại khác với những điều ấy ở nước người. Tôi sẽ viết với tâm tình nhớ quê hương vì tôi nhớ lại bài thơ tôi học khi xưa ở những lớp tiểu học có những câu thơ cảnh ban đêm ra ngắm sao thắm đặm tình người, qua bao năm tháng tôi vẫn còn nhớ ghi lòng:

Đêm qua ra đứng bờ ao,

Trông cá, cá lặn, trông sao, sao mờ.

Buồn trông con nhện giăng tơ,

Nhện ơi nhện hỡi nhện chờ mối ai?

Buồn trông chênh chếch sao Mai,

Sao ơi sao hỡi, nhớ ai sao mờ?

Đêm đêm tuởng giải Ngân Hà, Chuôi sao tinh đẩu đã ba năm tròn.

Đá mòn nhưng dạ chẳng mòn,

Tào khê nước chẩy, hãy còn trơ trơ.

Hình Dạng Địa Cầu

Ngày xưa người ta tin rằng địa cầu hình vuông. Người Tàu gọi nước họ là Trung Quốc, là nước đứng giữa, còn đi ra ngoài xa là những man di. Nhưng sau đó nguời ta đi bất kỳ về một phương hướng nào mà không bao giờ gặp giới hạn của địa cầu. Như vậy tất nhiên địa cầu đứng cô lập trong không gian. Ngày nay người ta đã dùng những phi thuyền bay ra ngoài địa cầu để nhìn lại thì thấy quả nhiên là địa cầu có hình tròn, chậm chạp quay và trôi trong không gian.

Người xưa đã biết khá sớm về địa cầu có hình tròn theo những nhận xét sau đây:

1/ - Magellan và nối tiếp sau là Del Cano đã đi vòng quanh địa cầu (1519-1522). Những nhà hàng hải này đi mãi về hướng Tây và đã đi trọn một vòng và về chỗ cũ.

2/ - Đứng ở một nơi cao bên bờ đại dương để quan sát thì nhìn thấy chân trời hình tròn. Đặc biệt, nếu đứng ở một đỉnh cao trên một hòn đảo chơ vơ giữa bể, rồi dùng một kính gọi là kính kinh vĩ để nhắm một điểm A ở trên đường chân trời và đo góc α giữa đường nằm ngang với đường chân trời thì ta sẽ được một góc nhỏ gọi là phủ giác chân trời. Sau đó ta quay kính quanh một trục thẳng đứng là trục OM để quét trọn một vòng chân trời thì thấy góc α không bao giờ thay đổi (Hình 4). Những tia mắt nhìn theo ống kính từ điểm M tới đường chân trời sẽ tạo ra một mặt nón tròn xoay ngoại tiếp với địa cầu. Điểm mắt nhìn M có thể ở bất kỳ chỗ nào và khi tạo ra hình nón tròn xoay ta thấy ngay là chỉ có hình cầu mới có tinh chất này.

Hình 4: Phủ giác chân trời α .

Một thí nghiệm khác cho ta biết tính chất cong của mặt địa cầu là khi nhìn một chiếc tầu ra khơi sẽ thấy như tầu từ từ chìm xuống (Hình 5)

Hình 5: Con tầu ra khơi

3/ - Nguyệt thực xẩy ra khi có bóng của địa cầu in trên mặt trăng. Ta đã thấy bóng này hình tròn, cũng như ta đã quan sát được bằng mắt thấy mặt trời và mặt trăng có hình cầu cũng như khi đã tạo được ra kính thiên văn để quan sát được một số hành tinh cũng thấy là hình cầu.

Một khi đã biết được rằng địa cầu có hình tròn thì người ta bắt đầu tìm cách đo chiều rộng lớn của trái cầu này.

Từ Eratosthenes ở Alexandria Tới Sinh Viên Sĩ Quan Hải Quân ở Brest

Ta thí dụ là địa cầu thật tròn và có bán kính là R. Theo như Hình 4, ở một điểm I trên mặt địa cầu, ta trèo lên một cao độ h ở điểm M và nhắm bằng kính kinh vĩ điểm A ở trên vùng chân trời rồi đo phủ giác chân trời α , thì ta có thể tính ra bán kính trái đất theo công thức

R = 6565,61 h/ α 2 (1)

Mặt khác, quãng đường đi từ chân tới điểm A nằm trên đường chân trời, và tính theo vòng cung IA thì khoảng cách này là

d = 114,59 h/ α (2)

Những công thức trên đây chỉ là nhửng công thức gần đúng, cho tiện làm bài tính mà không cần đến phép tính những đường lượng giác, và chỉ áp dụng cho những phủ giác chân trời α thật nhỏ, tính bằng độ và phần trăm của độ. Nếu khử thông số α giữa hai công thức ở trên thì ta có hệ thức liên lạc giữa chiều cao quan sát và quãng đường đi tới chân trời như là

d = √ (2Rh) (3)

Với mấy công thức dản dị như trên, nay ta thử làm mấy bài tính như sau:

1. Trong một lần thực tập về thiên văn, sinh viên sĩ quan trường Hải Quân Pháp ở Brest đã trèo lên một tháp cao h = 75 m và đo được phủ giác α = 0,2583 độ. Nếu dùng công thức (1) để tính bán kính địa cầu thì ta sẽ được R = 7.380, 53 km

Phương pháp đo này chỉ cho ta một ước lượng đại khái về độ lớn của địa cầu mà thôi. Những sách giáo khoa ở thời đại này cho ta bán kính của địa cầu một cách thật đúng là

R = 6.378, 135 km (4) Sở dĩ có sự sai biệt lớn như trên là vì phủ giác chân trời thường rất nhỏ nên khó lòng đo được chính xác. Nay ta thí dụ nhóm sinh viên sĩ quan nói trên đo được α = 0,27 độ, tức là chỉ lệch đi 1/100 của một độ thì theo công thức (1), bán kính địa cầu tính được sẽ là R = 6.754, 74 km. Số sai biệt so với lần trước sẽ là 625, 79 km. Thật quả đúng với câu "sai một ly đi một dặm".

2. Một người đứng ở một ghềnh đá cao 80 mét đối với mặt bể. Tầm mặt người đó nhìn xa được bao nhiêu? Nếu ta biết chính xác được bán kính của địa cầu theo như biểu thức (4) thì dùng công thức (3) ta tính được ngay tầm nhìn xa là

d = 31,945 km

3. Một phi công bay ở cao độ 3500 mét ở trên bờ bể và nhìn ra khơi thấy một hòn đảo ở ngang đường chân trời. Vậy hòn đảo này cách bờ bể bao nhiêu cây số?

Một lần nữa, dùng công thức (3) với bán kính địa cầu đã biết, ta tính ngay ra được khoảng cách

d = 211,30 km

Tóm lại, càng lên cao càng nhìn được xa và tầm nhìn tỷ lệ theo với căn số bậc hai của độ cao. Muốn nhìn xa gấp đôi phải lên cao gấp bốn lần.

Hơn hai ngàn năm trước khi có cuộc thử nghiệm của sinh viên sĩ quan Hải Quân ở Brest, thì vào khoảng 230 năm trước Công nguyên, nhà thiên văn học gốc Hy Lạp là Eratosthenes (275-194 truớc CN) đã đo được bán kính trái đất khá chính xác. Vì là người quản thủ thư viện ở Alexandria nên Eratosthenes tra cứu được nhiều tài liệu và biết rằng mỗi năm tới ngày 21 tháng 6 thì mặt trời giữa trưa ở đúng đỉnh đầu ở tỉnh Syene (Nay gọi là Assouan). Như vậy là tỉnh này ở gần chí tuyến giải có vĩ độ là 230 27’ nên mỗi năm vào ngày hạ chí mặt trời lúc giữa trưa ở đúng thiên đỉnh. Dân chúng chỉ quan sát và biết rằng vào ngày đó giữa trưa, mặt trời dọi thẳng vào một giếng nước sâu và phản chiếu ngược lại. Hình 6 biểu diễn hiện tượng này dẫu rằng góc α đánh dấu trên hình đã được vẽ lớn gấp bội cho rõ ràng. Căn cứ vào điểm là vì mặt trời ỏ xa nên tia sáng tới trái đất song song với nhau, ông Eratosthenes đã đo hướng chiếu của mặt trời cũng vào giữa trưa ngày 21 tháng 6 bằng cách đo bóng của một cây tháp thẳng đứng ở tỉnh Alexandria ở vào phía Bắc của Syene, cách xa là 5000 dậm. Khoảng cách này đã được ghi chú trong nhiều tài liệu lưu trữ ở thư viện.

Hình 6. Phương pháp đo bán kính trái đất của Eratosthenes

Nhờ sự đo bóng cây tháp ở Alexandria mà Eratosthenes đã suy ra độ lệch của tia sáng mặt trời là α = 70 2. Góc này cũng là góc tính từ tâm trái đất cho khoảng cách bằng độ giữa hai tỉnh Syene và Alexandria. Vì góc α bằng 1/50 của vòng tròn nên Eratosthenes đã suy ra rằng chu vi của địa cầu là 250.000 dậm. Mỗi dậm Hy Lạp ở thời đó đo được là 157,5 mét. Như thế theo ước lượng của Eratosthenes, chu vi địa cầu là 39.375 km. Theo công thức tính chu vi vòng tròn là c = 2 π R, và nếu dùng tạm trị số π thời đó của Archimedes là π = 22/7 thì ta tính ra bán kính địa cầu là

R = 6264,20 km

So với trị số thật đúng của bán kính địa cầu thì sự sai biệt chỉ độ 2 % mà thôi. Có nhiều yếu tố đã ảnh hương tới sự đo lường này. Thứ nhất là khoảng cách 5000 dậm giữa hai thành phố cũng chỉ là ước lượng sơ sài bằng cách cộng những độ dài giữa những trạm nghỉ của những đoàn lạc đà của những khách thương. Thứ hai nữa là hai thành phố Syene và Alexandria không cùng ở trên một kinh tuyến. Sau cùng, phép lượng giác để tính góc khi biết hai cạnh của một góc vuông, vào thời kỳ trước công nguyên, cũng chưa được chính xác. Tất cả những điều ấy, và cộng thêm vào sự việc là theo sử liệu ta không có thể nào đoan chắc về chiều dài của một dậm là bao nhiêu mét, nên không thể nào ước lượng được sự chính xác của cuộc thí nghiệm của Eratosthenes. Nhưng có một điều đáng khen ngợi là phương pháp của nhà thiên văn học này đã dùng lại chính là phương pháp hiện nay được dùng để đo độ lớn của địa cầu. Phương pháp này đặt trên căn bản là chọn hai điểm trên cùng môt kinh tuyến rồi dùng kính thiên văn để đo khoảng cách vĩ tuyến giữa hai điểm này. Sau đó dùng thước giây để thực sự đo độ dài của cung giữa hai điểm. Tự đó suy ra chu vi của địa cầu.

Bài Học Sơ Đẳng về Lượng Giác

Ta trở về Hình 6 và giả sử rằng hai tỉnh Syene và Alexandria ở trên cùng một kinh tuyến, nghĩa là trên một vòng cung lớn chạy từ cực Bắc cho tới cực Nam của địa cầu với giả thuyết địa cầu thực là hình tròn. Thay vì tính nhẩm sơ sài rằng mỗi ngày đoàn lạc đà đi đươc bao nhiêu dậm và sau bao nhiêu trạm nghỉ thì tới được Alexandria, để biết khoảng cách giữa hai tỉnh, nếu ở thời đại của Eratosthenes, vị Quốc Vương trị vì cho người thực sự dùng thước đo khoảng cách đó thì sự ước lượng bán kính địa cầu sẽ được chính xác hơn. Thêm vào đó ta lại phải biết dùng những kính thiên văn để đo được góc α sai biệt giữa hai vĩ tuyến cho thật đúng. Tự đó ta suy ra ngay chu vi của vòng tròn kinh tuyến bằng cách lấy độ dài của cung đường chia cho góc α , chẳng hạn tính bằng độ, rồi sau đó nhân với 360 độ là được.

Qua nhiều thế kỷ, người ta đã do được nhiều cung kinh tuyến ở nhiều địa điểm khác nhau trên mặt địa cầu, có những cung dài hàng mấy ngàn cây số, và chính xác đến nỗi sự sai biệt chỉ chừng vài mét mà thôi. Những công trình đo địa cầu ở nhiều nước như Pháp, Mỹ, Nga ... ở khắp miền từ gần Bắc cực cho đến miền nhiệt đới, từ bể băng giá cho đến các vùng sa mạc, chọn những nơi bằng phẳng không nhiều núi non, quả thật là vĩ đại. Nhưng những cuộc đo này, gọi là tam giác đạc, sở dĩ được thành công, chính là nhờ ở môn toán học gọi là lượng giác học.

Muôn tìm hiểu khái niệm căn bản của môn học này ta có thể theo phương pháp sau đây của hướng đạo sinh để đo bề ngang của một con sông mà không cần vuợt ngang con sông ấy. Từ một điểm A ở bờ sông bên này, nhắm một điểm C ở bờ sông bên kia rồi kẻ đường thẳng góc AB với đường AC ngang qua sông. Sau đó lần theo đường AB và dùng máy nhắm sao cho góc ở B là một góc 450 (Hình 7). Tam giác ABC sẽ là một tam giác vuông cân và AB = AC. Vậy chỉ cần đo đoạn đường AB ở bờ sông bên này là biết được bề ngang AC của con sông.

Hình 7. Đo bề ngang con sông, AB = AC.

Phương pháp đo thật ra không cần phải dùng góc 450 là một góc đặc biệt mà lấy bất kỳ một góc nào ở điểm B rồi cũng có thể suy ra bề ngang AC của con sông khi đã đo được độ dài AB. Tính chất này được biểu thị bằng thí nghiệm sau đây.

Giả sử ta ở một bờ bể dưới chân một bức vách đá dựng thẳng đứng và muốn đo chiều cao của bức vách này mà không cần phải trèo lên để thòng dây xuống. Nhằm một buổi gần trưa, khi trời còn nắng, ta cắm một cây gậy thẳng đứng xuống đất. Sau đó đo chiều cao của cây gậy gọi là h và chiều dài của bóng gọi là d rồi tính tỷ số h/d (Hình 8) .

Hình 8. Đo chiều cao bức vách

Tỷ số này cũng bằng tỷ số H/D là tỷ số của chiều cao của bức vách H chia với bề dài của bóng D . Như thế tức là

H/D = h/d

Tự đó ta suy ra chiều cao của bức vách đá

H = (h/d) D

Tóm lại sau khi đo chiều cao h của cây gậy và bóng d của cây gậy này, ta tính tỷ số h/d xem là bao nhieu. Sau đo nhân tỷ số này với bóng râm của bức vách là có chiều cao H của vách đá.

Quan sát Hình 8 ta thấy ngay là nếu góc α là một góc nhỏ, bóng d sẽ dài như lúc trời đã về quá chiều và tỷ số h/d là một tỷ số nhỏ. Ngược lại nếu mặt trời ở gần đỉnh đầu, góc α sẽ gần 900 , bóng d của cây gậy sẽ rất nhỏ và tỷ số h/d sẽ rất lớn. Tỷ số này được gọi là độ dốc của góc α và trong lượng giác học người ta gọi nó là "tan α ". Trước khi máy tính cầm tay được phổ thông, các nhà toán học áp dụng đã tính và thiết lập bảng cho trị số "tan" của các góc từ 00 cho tới 900 cách khoảng 1/100 của một độ. Dưới đây là trị số của một vài góc:

α 0 tan α 0 0

30 0,57735

45 1,00000

60 1,73205

75 3,73205

Nay ta trở lại hình 7 và tạm áp dụng bảng trị số này để làm lại bài tính đo bề ngang con sông. Lấy tỷ dụ là ở bờ sông bên này có nhiều chướng ngại vật, như mô đá hay lùm cây không cho phép ta đo được cho tới điểm B mà phãi ngừng ở điểm D mà ta nhằm đuợc gốc cây C làm mốc dưới một góc độ là 600 . Tự đó ta có thể viết hệ thức tỷ số:

AC/ AD = tan 600 = 1,73205

Ta chỉ cần đo thật chính xác độ dài AD là suy ra ngay được bề ngang AC của con sông.

Những máy tính cầm tay thuộc loại sơ sài chừng vài mỹ kim bây giờ cũng cho ta lập tức trị số tan α của bất kỳ một góc α nào tính bằng độ và phần ngàn của độ. Như vậy sẽ giúp chúng ta làm những bài tính lượng giác thật chính xác.

Trị số tan được gọi là đường lượng giác, cùng những đường lượng giác căn bản khác được định nghĩa trên Hình 9

Hình 9. Những đường lượng giác căn bản

Trên hình ta có một tam giác vuông góc ABC, có góc vuông ở A và gọi các cạnh đối diện với các đỉnh là a, b và c và gọi những góc là A, B và C. Lấy góc B chẳng hạn, người ta gọi "sine của góc B" và viết ký hiệu là "sin B" là tỷ số b/a, tức là lấy cạnh đối là b chia cho đường huyền là a. Thêm vào đó người ta gọi "cosine của góc B" và viết ký hiệu là "cos B" là tỷ số c/a, tức là lấy cạnh kề là c chia cho đường huyền là a .Dĩ nhiên ta đã dùng thí dụ cây gậy cắm thẳng góc và bóng của nó như đã tả ở Hình 8 để định nghĩa tan B là tỷ số b/c, tức là lấy cạnh đối chia cho cạnh kề. Những máy tính cầm tay cho ta biết ngay những đường lượng giác của bất kỳ một góc nào. Chẳng hạn, ta lại lấy góc B = 600 . Dùng máy tính ta thấy sin B = 0,86603, cos B = 0,5, và tan B = 1,73205. Ta kiểm điểm lại ngay là sở dĩ ta có cos B = c/a = 1/ 2 là vì trong trường hợp này tam giác ABC là một nửa của một tam giác ba cạnh đều, và như thế cạnh AB = c bằng đúng một nửa của cạnh BC = a.

Những đường lượng giác được đặt ra để tính những cạnh và những góc của những tam giác thật bất kỳ chứ không phải riêng cho những tam giác vuông góc hay có ba cạnh đều. Chẳng hạn ta vẽ một tam giác ABC thật bất kỳ như trên Hình 10 và cũng như trên gọi những cạnh là a, b và c và những góc đối diện là A, B và C.

Hình 10. Một tam giác bất kỳ

Giữa những cạnh và những góc của tam giác, có một tính chất rất đặc sắc là tỷ số của bất kỳ cạnh nào mà đem chia cho "sine" của góc đối diện thì cũng bằng hai lần bán kính R cuả vòng tròn ngoại tiếp với tam giác ấy. Viết thành hệ thức, ta có:

a/ sin A = b/ sin B = c/ sin C = 2 R (5)

Một công thức rất đẹp khác dùng để tính diện tích S của tam giác là:

S = (1 / 2) bc sin A = (1 /2) ca sin B = (1 /2) ab sin C (6)

Người viết bài này, cách đây hơn bốn chục năm đã viết một cuốn sách về Lượng Giác Học dài gần 200 trang, do bộ Quốc Gia Giáo Dục Việt Nam xuất bản cho chương trình Tú Tài. Như vậy môn học này không thể trình bầy một cách dản dị trên vài trang sách được. Nhưng bạn đọc cứ yên tâm là hai công thức (5) và (6) thật đối xứng ở trên thừa đủ để cho ta giải bài toán lượng giác căn bản sau đây, áp dụng vào thuật đạc lộ.

Lấy thí dụ ta có một miếng đất hình tam giác và đã đo được một cách chính xác cạnh c = 285 m. Ngoài ra, đặt kính nhắm ở những đỉnh A và B ta đã đo được hai góc A = 750 , B = 620 . Bài toán là làm sao tính được những phần tử còn lại, nghĩa là tính góc C và những cạnh a và b và diện tích S của tam giác.

Hình 11. Lượng Giác Học Chương Trình Tú Tài Toán

Trước hết vì tổng số những góc của một tam giác bằng 1800 nên ta có ngay góc C là:

C = 1800 - (750 + 620 ) = 430

Khi đã biết các góc thì máy tính cho ta nhũng đuờng lượng giác sine của các góc ấy và ta dùng công thức (5) để tính các cạnh còn lại

a = (sin A/sin C) c = 403,65 m

b = (sin B/sin C) c = 368,97 m

Cũng dùng công thức này mà ta có thể tính được bán kính của vòng tròn ngoại tiếp là:

R = 208,94 m

Khi đã biết các cạnh và các góc thì có thể tính diện tích của tam giác bằng công thức (6), Ta có:

S = 50, 787 m2

Từ Đoàn Lạc Đà tới Đoàn Người Đạc Lộ

Gần hai ngàn năm sau thời đại của Eratosthenes, sự đo hình thể của địa cầu đuợc tổ chức quy mô và chính xác hơn. Những đoàn người đạc lộ đầu tiên đã thực sự dùng thước để đo những đoạn đường và trong đoàn nhiều khi đã có những nhà toán học nổi danh của thời đại đi theo để kiểm soát sự chính xác của phép đo và sự áp dụng những công thức lượng giác. Phương pháp tam giác đạc để đo cung UV của một kinh tuyến trên điạ diện được thực hiện theo sự giải thích trên Hình 12.

Hình 12. Phương pháp tam giác đạc để đo cung kinh tuyến UV

Người ta chọn trên mặt địa cầu một số điểm A, B, C... làm thành những tam giác liên tiếp nhau như UAB, UBC, BCD, ... hợp thành một mạng dài chứa cung UV. Một đỉnh nào của tam giác cũng có thể nhìn thấy từ hai đỉnh kia. Người ta chỉ cần đo trực tiếp một cạnh AB gọi là đáy. Sau đó dùng kính kinh vĩ đo những góc A và B của tam giác ABU. Dùng phép tính lượng giác đã giải thích ở tiết mục trước đây ta tính ngay ra được độ dài của cạnh UB. Sau đó lại đặt kính ở những điểm U và B và nhắm tới mốc C để đo những góc U và B của tam giác UBC. Dùng phép tính luợng giác đã tả ở trên để tính độ dài của cạnh BC và tiếp tục như thế cho đến khi đạt được điểm V là điểm tận cùng của cung kinh tuyến muốn đo. Để kiểm điểm lại sự chính xác của những phương pháp đo và các phép tính, người ta chọn trên tam giác cuối cùng một đáy FG gọi là đáy kiểm soát và giải tam giác này như thường lệ để tính độ dài của đoạn FG. Sau đó lại dùng thước để đo trực tiếp đoạn FG trên mặt đất và so với kết quả của phép tính để biết sự chính xác của công việc trắc địa.

Mục đích tối hậu của công việc trắc địa là vừa đo vừa tính để tìm ra độ dài của cung UV. Vỉ thế, cùng một lúc, khi giải tam giác UBC, người đạc lộ nhắm kinh tuyến UV, là kinh tuyến muốn đo, để biết được góc ở đỉnh U của tam giác BUα . Do đó, tính ra đoạn Uα và đoạn Bα và trừ vào đoạn CB đã tính để suy ra cạnh Cα . Ở tam giác kế tiếp lại dùng kính kinh tuyến để đo góc ở đỉnh α của tam giác Cαß và nhờ đó tính ra cạnh αß . Cứ lần lượt tính như thế và sau cùng cộng các đoạn dài Uα, α ß , ...., δ V là có được độ dài của cung kinh tuyến từ điểm U đến điểm V.

Ta cũng cần biết thêm ít chi tiết kỹ thuật về những công cuộc trắc địa này. Những đỉnh liên tiếp của các tam giác thường cách xa nhau vào khoảng 40 km và muốn cho lời giải các tam giác được chính xác, người ta thường đặt các mốc ngắm làm thành những tam giác gần giống tam giác ba cạnh đều. Những điểm quan sát thuờng có những cao độ khác nhau nên phải làm những bài tính bù trừ để thu về một mặt hình cầu thuần nhất. Sau cùng nữa là những công thức (5) và (6) đã được ghi ở trên chỉ đúng cho những hình tam giác ở trên mặt phẳng. Những tam giác ở trên Hình (12) là những tam giác vẽ trên một hình cầu. Trong công cuộc trắc địa, các chuyên gia phải dùng những hệ thức giữa những đường lượng giác trên hình cầu hơi phức tạp một chút.

Mới đầu, khi dùng phương pháp tam giác đạc, người ta đo những đáy khởi đầu AB và đáy kiểm soát FG, phải dùng thước gỗ, hay thước kim loại, thật là vất vả. Bắt đầu từ năm 1885 người ta dùng dây bằng invar là chất thép có pha 36% kền ở độ nở dãn rất nhỏ. Sợi dây căng trên hai cọc cách nhau 24 mét và mỗi đầu có một cục chì nặng 10 kg. Đo bằng phương pháp này rất nhanh, mỗi ngày được vào khoảng 1500 m, và sai số khoảng chừng dưói 1 mm cho mỗi km. Lần đầu tiên người ta áp dụng phương pháp tam giác đạc cho khoa trắc địa là vào năm 1669 do nhà thiên văn Pháp Jean Picard, để đo một cung kinh tuyến chạy từ Paris tới Amiens. Phương pháp được hoàn bị rất nhanh chóng và để có một thí dụ ta lấy công cuộc trắc địa của hai ông Méchain và Delambre (1791-1799) đo kinh tuyến từ Dunkerque tới Barcelone dọc theo nước Pháp để ấn định độ dài của mét mẫu. Cạnh đáy AB đo được 12 km. Mỗi cạnh tam giác dài khoảng chừng 40 km. Khi tới tam giác cuối cùng, đo dáy kiểm soát FG dài 16 km thì khi so với những kết quả của những phép tính, sai số không quá 30 cm.

Cho đến nay, người ta đã đo được nhiều cung kinh tuyến ở nhiều địa điểm khác nhau như vài thí dụ sau đây:

1/ Cung đo bởi phái đoàn Anh, Pháp, Tây Ban Nha từ đảo Shetland tới đảo Ouargla ở hai vĩ tuyến cách nhau 290 (dài 3222 km)

2/ Cung dọc theo kinh tuyến, bờ biển Việt Nam dài khoảng 130 (1444 km)

3/ Cung dọc theo kinh tuyến qua mũi Nam Phi Châu dài 300 (3333 km).

Ngoài ra còn nhiều cung kinh tuyến khác đo được ở Ấn Độ và Hoa Kỳ. Riêng nước Nga, khi còn là Liên Sô với khoảng đất đai rộng lớn đã đặt nhiều phái đoàn, đo nhiều cung rộng lớn, không những theo chiều dọc những kinh tuyến mà cả theo chiều ngang những vĩ tuyến để có ước lượng thật chính xác về hình thể và độ lớn của địa cầu.

Hình Thể và Kích Thước Địa Diện

Mặt địa cầu có núi non, hồ biển nên lồi lõm. So với bán kính rộng lớn của địa cầu thì ta có thể coi sự lồi lõm không đáng kể và trong phép biểu diễn độ lớn của địa cầu người ta lấy một mặt cầu lý tưởng như hoàn toàn là bể và gọi mặt đó là địa diện.

Địa cầu không phải hoàn toàn hình tròn nhưng hơi bẹt ở hai cực. Lấy mặt lý tưởng là địa diện, ta thí dụ đó là một mặt tròn xoay quanh trục Bắc Nam và muốn nghiên cứu địa diện dọc theo một kinh tuyến. Nếu kinh tuyến hình tròn thì trên kinh tuyến này nếu ta lấy những cung, chẳng hạn mỗi cung dài 100 , bắt đầu từ cực và từ đường xích đạo, thì khi đo độ dài các cung thì ta sẽ thấy tất nhiên là chúng bằng nhau. Trong trưòng hợp mà kinh tuyến bẹt ở hai cực thì cung ở cực dài hơn cung ở xích đạo. Vậy muốn biết thật chính xác hình thể địa cầu người ta phải đo những cung kinh tuyến 10 ở những vĩ độ khác nhau như trên Hình 13.

Cho đến giữa thế kỷ 17, người ta vẫn mặc nhiên coi địa cầu là hình tròn. Nhưng năm 1672 nhà thiên văn Richer đi công vụ ở Cayenne, nhận thấy rằng chiếc đồng hồ quả lắc của ông được chuẩn định chạy đúng ở Paris tự nhiên bị chậm lại hai phút mỗi ngày. Muốn sửa lại phải thu ngắn con lắc lại 3 mm. Hiện tuợng này làm cho các nhà khoa học thời đại suy nghĩ và cho rằng địa cầu có hình bầu dục. Người ta chia làm hai phái. Nhà bác học Newton chủ trương thuyết bẹt ở hai cực. Nhà thiên văn học lừng danh thời bấy giờ là ông Cassini lại chủ trương rằng địa cầu dài ở hai cực. Để chấm dứt vấn đề người ta cử hai phái đoàn trắc địa đi đo một cung của kinh tuyến ở hai vĩ độ khác nhau. Một phái đoàn hướng dẫn bởi nhà bác học Maupertuis, đi theo có một nhà toán học lỗi lạc là Clairaut, lên gần Bắc cực để đo một cung ở Laponie (1736-1737). Một đoàn khác, hướng dẫn bởi hai nhà bác học Bougeur và La Condamine đi đo một cung ở Pérou (1735-1744). Kết quả là cùng một độ trên kinh tuyến thì cung ở Laponie dài 57.420 thước, trong khi đó thì cung ở Pérou lại chỉ có 56.750 thước mà thôi. Thước đo thời ấy dài 1,949 mét. Như thế có sự sai biệt là 1306 mét và như thế là khá lớn để chứng tỏ rằng địa cầu bẹt ở hai đầu.

Hình 13. Kinh tuyến là một hình ellip

Văn hào Voltaire thời ấy đã viết mấy câu thơ ngụ ý chế riễu Maupertuis đã mất công lên tận những cánh đồng tuyết ở Laponie để tìm ra đìều mà nhà bác học Newton chỉ ngồi ở nhà mà cũng biết từ truớc. Bài thơ của Voltaire kết luận bằng những câu :

« Il a découvert dans les lieux pleines d’ennui Ce que Newton trouvait sans sortir de chez lui »

Nhà thơ này, vì không có óc luận lý nên đã nhầm lẫn giả thuyết và kiểm nghiệm. Newton, dù là một thiên tài kiệt xuất cũng không thể nào ngồi ở nhà mà chứng minh được rằng địa cầu bẹt ở hai cực. Ông chỉ dựa vào lý thuyết cơ học mà nghĩ rằng địa cầu lúc đầu là vật thể mềm, khi quay quanh trục hai cực sẽ đọng lại thành hình bầu dục tròn xoay và đưa ra giả thuyết là địa cầu bẹt ở hai cực. Giả thuyết này được công nhận là đúng bởi kết quả đo của những phái đoàn Maupertuis và Bouger.

Với kết quả của nhiều công trình trắc địa trên nhiều nước, sau khi so sánh và đúc kết, một hội nghị quốc tế vào năm 1924 ở Madrid đã công nhận một mẫu thống nhất sau đây cho địa diện.

1/ Tất cả các kinh tuyến đều dài bằng nhau. Địa cầu là một cố thể tròn xoay quanh trục Bắc Nam.

2/ Mỗi kinh tuyến là một hình ellip, có trục nhỏ là địa trục. Như vậy, địa cầu là một khối bầu dục tròn xoay.

3/ Độ dài của một kinh tuyến dài 10 thay đổi với vĩ độ và có trị số như sau :

Vĩ độ Độ dài của 10 kinh tuyến

0

110.576 m 30 110.855 m 60 111.417 m 90 111.700 m

Những kết quả trên đây là do nhà thiên văn Hoa Kỳ Hayford đã đưa ra vào năm 1909 và khối bầu dục có kích thước ở trên được công nhận là khối bầu dục quốc tế, tượng trưng cho địa diện. Theo mẫu này thì nếu địa diện là một hình bầu dục tròn xoay thì tất cả các vĩ tuyến, và đặc biệt là đường xích đạo, tất cả đều là những hình tròn. Dầu vậy trong nửa thế kỷ vừa qua nhiều nhóm thiên văn và trắc địa thuộc khối Nga đã tốn rất nhiều công để đo nhiều cung ngang và dọc mặt địa cầu và họ muốn chứng minh rằng địa diện là một khối bầu dục có ba trục và như thế thì các vĩ tuyến cũng là những hình ellip. Hiện nay thì mẫu địa diện của Hayford vẫn là mẫu chính thức. Theo Hình 13, nếu gọi a là nửa trục lớn và b là nửa trục nhỏ của kinh tuyến hình ellip thì ta có những trị số :

a = 6378.388 m

b = 6356.912 m

Sự sai biệt chỉ là :

a - b = 21.476 m

Nếu đem chia cho a thì ta có một tỷ số gọi là độ bẹt của địa cầu :

e = (a-b)/a = 21476/6378388 = 1/297

Con người vốn dĩ tự hào về địa cầu, nên khi ấn định những hệ thống đo lường, đã muốn dùng kích thước địa diện để làm chuẩn cho sự định nghĩa đơn vị chiều dài là mét. Như trên đã nói, phái đoàn Méchain và Delambre đã đo cung kinh tuyến theo chiều dọc nước Pháp từ Dunkerque cho tới Barcelone dài 90 40’ 25’’ 9. Ta nhắc lại là nếu dùng độ và phút, giây thì một vòng tròn có 3600 , mỗi độ có 60 phút và một phút có 60 giây. Khi dùng những máy tính hiện nay thì muốn cho giản tiện ta tính ra độ và dùng số thập phân. Như cung kinh tuyến nói trên ta có thể đổi là có độ dài là 9,67386 0. Kết quả của cuộc đo này dài 8 năm trời, sau khi được tổng hợp với kết quả của những công trình đo của những phái đoàn đi Laponie và Pérou thì đã đưa đến kết luận là một phần tư của ellip kinh tuyến đo được 5.130.740 thước.

Người ta lấy quyết định độ dài cũa mét mẫu là một phần mười triệu của độ dài này. Với thước dùng để đo thời ấy, mỗi thước bằng 1,949 mét thì một vòng kinh tuyến được coi như là dài 40 ngàn cây số. Người ta làm một thước mẫu bằng bạch kim pha iridium và đặt ở Tòa Lưu Trữ Trọng Lượng và Đo Lường ở Sèvres ngày 23 tháng 6 năm 1799 cùng với kilogram mẫu của ông Lavoisier. Về sau, kỹ thuật trắc địa được tinh xảo hơn và người ta nhận thấy rằng một phần tư vòng kinh tuyến của hai ông Méchain và Delambre đã ngắn hơn thực sự là 2288 mét, và như vậy mét mẫu ở Toà Lưu Trữ ngắn hơn mét theo định nghĩa là hai phần mười của milimét. Vì không bao giờ người ta có thể đi đến lý tưởng là biết được chính xác độ dài của vòng kinh tuyến nên ở Pháp đã ban hành đạo luật ngày 11 tháng 7 năm 1903 để ấn định chiều dài của một mét theo luật pháp như là :

« Mét là độ dài đo ở 00 bách phân của thước mẫu bằng bạch kim pha iridium đặt ở Toà Lưu Trữ Trọng Lượng và Đo Lường ở Sèvres và đã được Hội Nghị Quốc Tế Đo Lường ở Paris năm 1889 kiểm nhận ».

Tuy định nghĩa của mét không còn căn cứ vào chiều dài của vòng kinh tuyến địa cầu nữa nhưng vẫn còn những độ dài được dùng theo truyền thống như là người ta đã định nghĩa một hải lý là chiều dài của một cung có độ đo một phút của vòng tròn địa cầu, tỷ dụ là có trị số 40.000 km. Vì một vòng tròn có 360x60 phút nên ta có ngay độ dài của một hải lý là :

40.000 km/21600 = 1,852 km

Ta đã thí dụ phép đo làm trên một địa diện nghĩa là mặt biển suy rộng ra lục địa. Nhưng làm mô hình thực sự của địa cầu thì ta còn có núi cao, biển sâu làm cho mặt địa cầu gồ ghề. Chiều cao của một ngọn núi, tính từ mặt biển. Ngưòi ta dùng phép lượng giác để tính dần dần cao độ của mọi điểm trên đất liền bắt đầu từ mặt biển rồi dần dần lên tới các vùng cao nguyên và các đỉnh núi. Đỉnh cao nhất trên địa cầu là ngọn núi Everest ở Á châu đo được 8882 m. Nhiều đỉnh khác ở Á châu cao hơn 7000 m. Ở Nam Mỹ, ngọn Aconcagua cao 7010 m. Nhiều đỉnh khác cao hơn 6000 m. Ở Phi châu, ngọn Kibo cao 6010 m. Ở Âu châu, ngọn Elbrouz cao 5641 m. Ở Bắc Mỹ ngọn núi cao nhất là Mac-Kinley đo được 6240 m. Ở Việt Nam, ngọn cao nhất là ngọn Fan Si Pan, đo được 3142 m ở Bắc Việt gần giáp giới Vân Nam.

Về công cuộc thăm dò đáy biển thì người ta đã đo được một phần lớn bề sâu của các biển và thấy những đại dương có bề sâu trung bình là 4000 m. Hố sâu nhất ở Đại Tây Dương đo được 8500 m và ở vĩ độ 200 Bắc và kinh độ 600 Tây. Ngoài ra có nhiều hố sâu 6000 m và 7000 m. Ấn Độ Dương có một hố sâu 7500 m ở về phía Nam cách đảo Java 220 km. Thái Bình Dương có những hố sâu 7000, 8000, và 9000 m. Người ta tìm được hố sâu nhất đo được 10.793 m ở phía Đông cách bờ biển Phi Luật Tuân 110 km. Bắc Băng Dương tương đối nông hơn các đạì dương khác, những chỗ sâu không quá 3500 m. Ở Nam Băng Dương có một hố sâu hơn 5000 m. Hãi quân của các cường quốc đã tận dụng những máy đo Sonar tối tân để biết được rất tường tận hình thể dưới đáy biển sâu.

Hình 14 . Địa cầu trong không gian

Thời nay, những tấm ảnh chụp từ ngoài không gian đưa về cho ta thấy địa cầu như là quả bóng tròn và đẹp, những đám mây làm thành những vân xanh và trắng, thường nhật biến đổi. Nhờ những mốc được các nhà đạc lộ ghi chú toạ độ thật chính xác mà nay các khoa học gia không gian, dùng những kỹ thuật đo lường tối tân trên những vệ tinh bao toả toàn cầu, đã biết được thật tường tận hình thể địa cầu. Dù cho địa cầu có hơi bẹt và trên mặt có núi cao và biển sâu, nhưng nếu ta biểu diễn địa cầu như là một quả bóng tròn có bán kính là một mét, thì ở hai cực Bắc và Nam, mô hình thật đúng của địa cầu chỉ hụt vào có 3 milimét mà thôi. Mặt khác, theo phép thu hẹp này thì ngọn Everest chỉ nhô lên chừng 1 milimét và hố sâu ở Thái Bình Dương chỉ lõm vào gần 2 milimét mà thôi.

Mai sau, những phi hành gia của vũ trụ, trong những chuyến bay đi xa vời, khi quay lại nhìn địa cầu sẽ thấy nơi sinh sống của loài người là một trái cầu trong xanh như một viên ngọc bích thật tròn. Hình ảnh sẽ rất gợi cảm cho những thi sĩ không gian đa tình.