Đây là truyện đầu tiên trong một tập truyện nói về Toán Học, một môn học đă vừa được tôn là ông Hoàng, vừa được coi là kẻ hầu của Khoa Học. Được coi như vậy là v́ toán học dựa vào lư thuyết thuần lư và từ cổ xưa cho tới nay những ǵ dựa vào tư tưởng siêu việt, dù cho là triết lư thuần túy hay chỉ dùng để tạo dựng một định luật nguyên thủy cho một lư thuyết khoa học, cũng dễ gây được sự tôn vinh của các sinh đồ. Mặt khác, toán học, và đặc biệt là toán học áp dụng, thường được dùng làm công cụ để khai triển các bộ môn khoa học khác, kể cả kinh tế học, và như vậy được coi là kẻ thừa hành.
Tôi vẫn mong có dịp hoàn tất tập truyện này, nhưng đă tŕ hoăn cho tới nay mới viết, không phải là v́ theo thứ tự ưu tiên của nhiều công việc cần phải làm, mà v́ tôi vẫn suy nghĩ chưa định được mức độ cao thấp cho bài viết cho được phổ thông tới nhiều độc giả. Bài mở đầu này, tuy viết về một môn toán học tân kỳ, mới thực sự được khai phương toàn diện trong cuối nửa thế kỷ vừa qua, nhưng tôi đă hoàn toàn bỏ đi phần lư thuyết nặng nề mà chỉ nói về những áp dụng chính mà thôi. Đôi khi tôi để chen vào bài viết những kinh nghiệm bản thân là cốt để cho câu chuyện bớt khô khan cho người đọc. Tôi hy vọng qua những câu chuyện toán học, đôi khi chen vào chút tâm sự ḷng ḿnh, tôi có thể truyền cảm tới các thanh niên hiếu học, làm cho các bạn cũng ưa thích toán học, một bộ môn đă làm cho tôi say mê từ thuở thiếu thời.
Tâm Sự Qua Một Bài Thơ
Một trong những bài thơ tôi thích là bài “Bán Than” của Trần Khánh Dư, Thượng Tướng đời nhà Trần.
Bán Than
Một gánh kiền khôn, quẩy xuống ngàn,
Hỏi chi bán đấy? Gửi rằng than.
Ít nhiều miễn được đồng tiền tốt,
Hơn thiệt nài bao gốc củi tàn.
Ở với lửa hương cho vẹn kiếp,
Thử xem đá sắt có bền gan.
Nghĩ ḿnh lem luốc toan nghề khác,
Nhưng lẹ trời kia lắm kẻ hàn.
Ông là tôn thất nhà Trần, làm quan và phạm lỗi, bị cách chức, phải ra ở Chí Linh đốt củi bán than. Khi giặc Nguyên xâm lăng nước ta, vua Trần Nhân Tôn (1278-1293) hội vương hầu ở Lục Đầu Giang bàn việc binh. Trần Khánh Dư nhân chở than đi qua làm bài thơ dâng vua ngự lăm để tỏ ư chí ḿnh và được vua khen, cho phục chức theo đi đánh giặc. Ông có công lớn, sau trở thành danh tướng.
Thường khi chúng ta thích một bài thơ nào, th́ thường là v́ lời thơ hay v́ ư thơ. Tôi thích bài thơ trên có lẽ v́ ư thơ hợp với ư ḿnh. Đôi khi tôi nghĩ có lẽ v́ bốn câu cuối, v́ từ xưa tới nay bản tính ḿnh tôn trọng nếp sống chung thủy với gia đ́nh, với người đồng hương, với đất nước. Ngay ở trong công việc, tôi hay nghĩ đến làm những công việc có ích cho đời hơn, dù cho việc ấy có bận nhiều đến thân ḿnh như hai câu cuối trong bài.
Nhưng hôm nay tôi chợt động tâm nghĩ rằng trong mười năm gần đây, môn toán học tôi chú trọng nhiều đến là “Phép tính biến thiên” (Calculus of Variations), có thể dùng hai câu thực trong bài “Bán than” để diễn tả là:
“Ít nhiều miễn được đồng tiền tốt,
Hơn thiệt nài bao gốc củi tàn”.
Điều căn bản trong phép tính này là dùng phương pháp thêm bớt cho lượng mà ḿnh muốn khảo xát, mỗi lần thay đổi chút đỉnh mà thấy lượng đó tăng lên tức là ḿnh đă tính được chiều hướng tối ưu. T́m bằng cách nào tôi sẽ nói tới ở đoạn sau. Để mở đầu, chúng ta hăy bàn về một bài tính giản dị nhất.
Đường Thẳng là Đường Ngắn Nhất
Chúng ta hăy tạm công nhận là đường thẳng là đường ngắn nhất giữa hai điểm A và B, như ta có thể nh́n thấy khi căng một sợi chỉ giữ hai mấu tượng trưng cho hai điểm. Biết như vậy ta có thể giải đáp bài toán sau đây:
“Hàng ngày một em bé gái đi từ nhà ở điểm A tới chuồng ḅ ở điểm B để vắt sữa mang về nhà. Trước khi tới chỗ vắt sữa, em tới bờ sông, tượng trưng bằng một đường thẳng S để rửa b́nh sữa, theo h́nh vẽ 1. Em phải tới bờ sông ở điểm nào, gọi là điểm C, để con đường từ A đến C rồi đến B là đường ngắn nhất?”
h́nh 1
Lời giải của bài toán này thật là giản dị. Ta coi đường thẳng S như là một gương phẳng rồi lấy h́nh đối xứng A’ của điểm A như trên H́nh 1. Nối đường A’B gặp đường thẳng S ở điểm C. Đường đi từ A tới C rồi tới B là đường ngắn nhất em bé phải đi. Như thế là v́ theo phép đối xứng, đoạn AC bằng đoạn A’C.
Như vậy
AC + CB = A’C + CB
Và từ A’ đến B dùng đường thẳng A’CB là đường ngắn nhất.
Đây là một bài toán h́nh học, nhưng cùng một lúc ta t́m ra được một định lư về quang học. Nếu đường S tượng trưng cho một tấm gương phẳng th́ nếu một tia sáng phát ra từ điểm A, dội vào mặt gương rồi phản chiếu qua B mà đi theo đuờng ngắn nhất th́ đó là đường đi ACB của cô bé trong bài toán. Mặt khác nếu ta vẽ đường CN thẳng góc với mặt phẳng gương th́ hai góc tới và góc phản chiếu là hai góc bằng nhau như theo dấu vẽ trên H́nh 1. Đường CN, gọi là pháp tuyến, chia góc ACB làm hai góc bằng nhau.
Bây giờ ta làm cho bài toán khó khăn hơn một chút nữa và coi bờ sông S không phải là thẳng tắp theo một đường thẳng mà lại ṿng vèo như theo H́nh 2. Trong trường hợp này đường đi ngắn nhất của cô bé sẽ ra sao?
Thứ nhất ta mặc nhiên công nhận rằng em bé đi từ A tới C rồi từ C tới B sẽ theo những đoạn thẳng, v́ đi đường ṿng hay đi gấp khúc đều kéo dài thêm đường đi.
Thứ hai, ta thử coi lộ tŕnh của em bé đi từ điểm A tới một điềm M nào đó, chưa tới bờ sông, rồi từ M đi về chuồng ḅ ở điểm B tổng cộng một đoạn đường dài là:
AM + MB = d
Bây giờ ta giữ nguyên độ dài đường đi là d, nhưng không theo hướng AM mà đi theo một hướng khác AM’ rồi đi về điểm B để cho cùng có một đoạn đường dài là:
AM’ + M’B = d
Nói một cách khác, trên một bản đồ thu hẹp lại, nếu ta cắm một đinh ghim ở điểm A và một đinh ghim ở điểm B rồi chằng giữa A và B một đoạn dây tượng trưng cho độ dài d không đổi, rồi đặt một đầu bút ch́ ở điểm M cho căng thẳng giây và vạch một ṿng, ta sẽ được một h́nh bầu dục vẽ theo đường gạch quăng ở H́nh 2. H́nh bầu dục này là một h́nh rất đặc biệt gọi là h́nh ellip. Các hành tinh, sao chổi, vẫn thạch quay chung quanh mặt trời cũng theo những h́nh này.
h́nh 2
Cho đến đây ta thấy rằng theo H́nh 2, nếu giữ dộ dài là d th́ em bé nếu đi bất cứ hướng nào, khi tới giới hạn là h́nh bầu dục là phải trở về B để cho tổng cộng đoạn đường đă hạn định trước và không tới được bờ sông. V́ vậy sẽ phải thêm đoạn đường cho dài ra và làm cho h́nh bầu dục nới rộng ra. Khi đoạn dây vừa đủ dài, h́nh bầu dục sẽ vừa đủ rộng để tiếp xúc với bờ sông S ở điểm C là điểm phải t́m.
Giờ ta đứng ở phía Nam bờ sông S và tưởng tượng ta dần dần nối dài đoạn đường tổng cộng d để cho h́nh bầu dục lớn dần dần cho đến khi chạm bờ sông S để xem điểm C có thể ở đâu.
Nếu bờ sông khúc khuỷu có những mũi nhọn ra, như khi từ phía Nam bờ bể Việt Nam ta nh́n về phía mũi Cà Mau, th́ điểm chạm đầu tiên là điểm C có thể là ở mũi nhọn. Nếu bờ sông S là một h́nh cong không gập ghềnh th́ điểm chạm C được gọi là điểm tiếp xúc, nghĩa là ở điểm C ta có thể vẽ một đường thẳng làm đường tiếp tuyến CT chung cho cả đường cong S lẫn đường bầu dục như ở H́nh 3.
h́nh 3
Nếu ở điểm C vẽ đường thẳng góc CN với đường tiếp tuyến, đường này gọi là đường pháp tuyến, th́ CN sẽ chia góc ACB làm hai góc bằng nhau như coi trên h́nh vẽ. Ta lại có thêm một định luật về quang học. Nếu coi đường cong S như là tiết diện của một mặt gương lồi th́ một tia sáng từ A phản chiếu trên S để tới B sẽ theo đường ngắn nhất và góc tới của tia cũng sẽ bằng góc phản chiếu.
Nếu bây giờ ta bỏ mặt gương S đi và coi h́nh bầu dục như là một mặt gương lơm th́ ở bất cứ một điểm C nào trên đường bầu dục, ta vẽ tiếp tuyến CT và pháp tuyến CN ta cũng có một định lư h́nh học là đường pháp tuyến CN chia góc ACB làm hai góc đều nhau. Đó là một tính chất đặc biệt của h́nh bầu dục và hai điểm A và B dùng để làm mấu căng thẳng sợi dây AC + CB = d để vẽ h́nh bầu dục, hai điểm này gọi là tiêu điểm.
Thanh âm cũng dội lại như ánh sáng. Nếu ta tưởng tượng h́nh bầu dục ở H́nh 3 như là một ṿm trong đường hầm của tầu điện, có hai bờ ở bên A và B th́ người đứng ở tiêu điểm B sẽ nghe được rất rơ ràng những ǵ phát âm ở A v́ thanh âm ở A truyền đi bất kỳ hướng nào khi gặp ṿm bầu dục sẽ phản lại và tập trung về B.
Đường Thẳng không phải là Đường Tốt Nhất
Sự việc đường thẳng là đường ngắn nhất giữa hai điểm th́ không ai phủ nhận. Nhưng nếu
hỏi tại sao lại là ngắn nhất th́ thường được trả lời dản dị là “v́ nó là đường thẳng!” Câu trả lời ḷng ṿng như vậy, đối với thế nhân th́, thôi gọi là chín bỏ làm mười cho nó xong. Nhưng với một nhà toán học th́ không đuợc minh bạch. Bây giờ ta hăy bỏ ra ngoài vấn đề đường thẳng là đường ngắn nhất, mà đặt lại vấn đề là dùng đường thẳng để di chuyển có lợi không? Chữ lợi đặt ra ở đây có nghĩa là lợi về thời gian nghĩa là nhanh nhất.
Những ai đă lái xe đi từ một điểm A ở bờ Đông một thành phố để tới một điểm B ở bờ phía Tây thành phố ấy mà đi xuyên qua thành phố một buổi chiều xe cộ rộn rịp như mắc cửi, đặc biệt là ở những phố giữa trung tâm, là thấy ngay câu trả lời là không nên dùng đường thẳng xuyên tâm mà đi. Cũng v́ vậy mà ở những thành phố lớn đă được thiết lập những đường ṿng đai để ta có thể mau chóng lái xe về phía bên kia. Theo như thế chúng ta đă đi đường ṿng, mà không đi theo đường thẳng là đường ngắn nhất, để có thời gian di chuyển chóng nhất.
Bài toán di chuyển với thời gian nhanh nhất không phải mới được đặt ra khi có hoả tiễn để du hành vũ trụ mà có lẽ đă được đặt ra tự ngàn xưa. Nhưng bài toán nổi danh nhất để mở đầu cho Phép Tính Biến Thiên được đề cập đến trong bài này, đến thế kỷ thứ 17 mới được đặt ra và giải đáp gọn gàng.
Khởi đầu là hai anh em nhà Bernouilli, người Thụy Sĩ, ông anh tên là James (1654-1706) là giáo sư toán ở Đại học Basle và ngựi em tên là John (1667-1748). Người em là học tṛ của ông anh và sau này trở nên tiếng tăm lừng lẫy hơn ông thầy ḿnh. Sau khi học ở Basle vào năm 1690, John đi Pháp để học thêm về toán và tới năm 1695 th́ trở về nước và nhận một chức giáo sư ở Đại học Groningen. Vào khoảng thời gian này không biết v́ duyên cớ ǵ, hai anh em nhà Bernouilli trở nên ḱnh địch và tranh hơn thua nhau qua những phương tŕnh toán, hay qua những bài toán đố và những bài toán giải. Vào tháng 6 năm 1696, John Bernouilli thách thức giới toán học giải bài tính sau đây:
“Từ một điểm khởi đầu O, thả trôi một cái ṿng theo một đường giây nhẵn thín cho tuột xuống một điểm A ở phía dưới. Phải uốn đựng giây theo h́nh nào để cho thời gian tuột được ngắn nhất?”
h́nh 4
Chiếc ṿng tất nhiên tuột xuống theo trọng lực hấp dẫn, nhưng nếu dùng đường thẳng từ O xuống A lại không được thời gian ngắn nhất. Theo H́nh 4, ta có thể theo một đường giây khác, chẳng hạn như đường giây vẽ ở phía trên, và nếu theo h́nh này th́ lúc đầu vận tốc có thể chậm nhưng càng về sau càng nhanh. Phương pháp này có thể tiện lợi cho một cuộc đua giai sức, nhưng với bài toán này th́ lời giải lại là đường cong vẽ ở phiá dưới trong H́nh 4. Đường cong này gọi là Cycloid, và ngoài hai anh em ông Bernouilli, những nhà toán học trứ danh đương thời như Newton, Leibniz, hầu tước Hospital đều có lời giải đúng.
Chính danh ra chỉ có những bài giải đáp của hai anh em ông Bernouilli được đăng ra trên báo vào tháng 5 năm 1697. Bài của John Bernouilli dễ đọc và hay diệu vời. Vào thời đó những môn tính vi phân và tích phân mới ở tŕnh độ phôi thai nên những lời giải của những bài toán khó cần phải dựa vào những mánh lới đặc biệt. John th́ nhận thức được rằng đường cong được dùng để trượt xuống một cách nhanh chóng cũng là đường của một tia sáng đi từ O tới A nhưng qua một lớp kính mỗi đợt có chiết xuất khác nhau. Nhờ đó mà ông t́m ra được đường Cycloid, cũng là qua định luật quang học. Bài giải của James Bernouilli th́ quá phức tạp nhưng kỹ thuật dùng có tầm vóc rộng, có thể áp dụng vào những bài toán khác. Để kết thúc bài đăng này, ông anh James đă ra thêm một bài toán khó khăn hơn thuộc phạm vi toán biến thiên để mọi người cùng thẩm định t́m lời giải, và ông đặc biệt thêm rằng nếu John Bernouilli giải được th́ ông thưởng cho năm mươi quan tiền. Sau đó hai anh em có nhiều cuộc tranh luận gay cấn và ngă ngũ ra ông anh James đăng bài giải đáp vào năm 1701 và cho rằng John đă không giải nổi. Hai bài giải toán của James Bernouilli đăng những năm 1697 và 1701 là những bài khởi đầu gây hứng khởi cho một nhà toán học Thụy Sĩ lừng danh khác là Leonhard Euler (1707-1783) và Euler đă là người đặt căn bản vững chăi đầu tiên cho Phép Tính Biến Thiên, đă có nhiều công dụng ích lợi trong những thế kỷ tiếp theo dùng để giải những bài toán có lời giải tối thiểu và đặc biệt để tính những qũy đạo hỏa tiễn cho đỡ tốn nhiên liệu.
Để kết luận đoạn này tôi cần thêm mấy tiểu truyện sau đây:
Vào năm 1705, sau khi James Bernoulli qua đời, người em John Bernouilli quay về tỉnh Basle là nơi sinh quán để nhận một chức giáo sư Toán và ở lại đây hơn bốn mươi năm cho đên khi măn đời. Ông vẫn say mê với toán học nhưng không c̣n ai trong quyến thuộc ngang tài để tranh đua. Ông là thầy học của Euler.
Phương tŕnh căn bản của Phép Tính Biến Thiên, dùng để t́m những lời giải có trị số tối thiểu, nay được gọi là phương tŕnh của Euler và Lagrange. Gọi như vậy là v́ Euler t́m ra phương tŕnh khi khảo xát tính biến thiên. Phương tŕnh này lại giống hệt phương tŕnh của Lagrange khi t́m phương pháp tổng hợp giải tích của môn cơ học.
h́nh 5
Muốn có h́nh ảnh của đường Cycloid, có thể gọi là đường vạch của vành bánh xe, th́ ta gắn một điểm sáng vào vành xe đạp rồi lăn trong tối. Điểm sáng M sẽ vạch thành đường Cycloid như theo H́nh 5. Muốn có đường giây tuột nhanh nhất như trông ở H́nh 4 th́ quay lộn ngược đường Cycloid ở H́nh 5.
Đường Cycloid, dù trông theo chiều thuận tự nhiên như ở H́nh 5, hay theo chiều lộn ngược dùng làm giây tuột ở H́nh 4, là một h́nh đặc biệt, được nhắc đến nhiều trong Toán học. Dĩ nhiên là ta đă có thể nh́n thấy lờ mờ h́nh ảnh của h́nh này từ khi loài người nghĩ ra bánh xe tṛn, chẳng hạn như khi xưa, xe chở nặng gặp chỗ lầy, một xa phu nếu cầm vào vành bánh xe để quay vận chuyển th́ chỗ tay nắm sẽ di động theo h́nh cycloid. Nhưng phải tới năm 1501 ta mới thấy h́nh này đuợc nhắc tới trong cuốn sách của Charles Bouvelles và tới thế kỷ 17 tính chất cơ hữu của h́nh mới được t́m ra khi các nhà toán và vật lư học đương thời như Galileo, Pascal, Toricelli, Descartes, Fermat, Huygens chú ư đến qua những công tŕnh của anh em Bernouilli và Newton cùng Leibniz như đă nói ở trên. Ngoài tính chất cơ hữu mà anh em Bernouilli đă t́m ra, h́nh này có những tính chất đặc biệt như sau:
1/ Chiều dài của mỗi vành cung vạch ra bằng bốn lần đường kính của bánh xe. Điều này thật là đặc biệt v́ dẫu rằng liên hệ tới ṿng tṛn mà chiều dài của cycloid lại không phụ thuộc vào số Pi = 3.14159... là số dùng để tính diện tích và chu vi của h́nh tṛn.
2/ Diện tích của phần bao gồm bởi vành cung cycloid và đường thẳng để lăn ṿng tṛn bằng ba lần diện tích của ṿng tṛn.
3/ Nếu lật ngược h́nh cycloid và coi như là tiết diện của một cái chậu, th́ nếu ta thả một viên bi ở bất kỳ điểm nào trên vành cung, thời gian để viên bi lăn xuống điểm thấp nhất cũng bằng nhau.
Nhiều người đă gán cho h́nh cycloid cái tên là tiên nữ Helen của thành Troy. Giở lại truyện thần thoại Hy Lạp, Helen là con gái của Ngọc Hoàng Zeus và nữ thần Nemesis, lúc mới đầu sinh ra như cái trứng của thiên nga và được nữ hoàng Leda đưa về nuôi dưỡng khi trứng nở ra tiên nữ. V́ nàng tiên nữ quá đẹp, không biết bao nhiêu danh tài ngấp nghé nên cha nuôi là quốc vương Tyndareous đă bắt tất cả những người mơ tưởng Helen phải tuyên thệ sẽ bảo vệ cho nàng khi nàng đă lựa chọn người chồng. Nhưng sau này Menelaus là phu quân của Helen đă không giữ được an toàn cho vợ mà để hoàng tử Paris cướp mất đưa về thành Troy. Menelaus đă triệu tập tất cả các vương công Hy Lạp tới vây hăm thành Troy, gây chiến tranh gươm đao ngập trời cũng chỉ v́ chuyện tranh cướp người đẹp.
H́nh đẹp tuyệt vời là h́nh cycloid đối với các nhà toán học ở thế kỷ 17 cũng vậy. Đă có những bút chiến tranh chấp, dành phần ai đă là người đầu tiên t́m ra tính chất hay lạ của h́nh. Có cả những sự miệt thị nhau để d́m tài nhau. Ở vào một thế kỷ mà phương tiện ấn loát chưa được phổ thông và nhanh chóng, phương tiện thông tin chưa được hoàn mỹ như bây giờ, th́ sự việc ai là người loan tải phát minh toán học trước nhất, ai là người sao lại bài của người khác rồi nhận là của ḿnh, cũng khó ḷng minh định được. Có một điều chắc chắn là những ǵ cần biết của h́nh cycloid đă được hoàn toàn phơi bầy trên nhiều trang sách. Nếu ai có muốn t́m thêm tính chất mới lạ cũng sẽ chỉ mất công dă tràng mà thôi.
Ít Nhiều Miễn Được Đồng Tiền Tốt
Tiểu đề của đoạn này là câu thơ trong bài “Bán Than” đôi khi tôi lẩm nhẩm đọc và tiếp theo bằng câu: “Hơn thiệt nài bao gốc củi tàn”.
Vào cuối thế kỷ trước và sang thế kỷ 21, ai cũng muốn t́m ra phương sách hữu hiệu để dựa vào những dữ kiện đă có mà tiên đoán được tương lai, đặc biệt áp dụng vào những chiều hướng xă hội, chính trị và kinh tế. Lấy một thí dụ cụ thể, chúng ta có một số vốn nuốn đầu tư, chắc không chịu bỏ vào một công ty đang xuống dốc mà rất có thể dám đặt vào một cơ sở tuy chưa phát đạt nhưng có chiều hướng bành trướng trong tương lai. Cái dấu hiệu “đang xuống dốc” hay “có cơ hội tăng trưởng” được đặt thành lư thuyết toán học vào đầu thế kỷ 17 và gọi là môn “Toán Vi Phân” (Differential Calculus), sau này áp dụng vào “Lư Thuyết Cực Đại và Cực Tiểu Thông Thựng” (Ordinary Theory of Maxima and Minima) và sau cùng phát triển sâu rộng vào một lư thuyết phức tạp gấp bội là môn “Toán Biến Thiên” (Calculus of Variations) được đề cập đến trong bài viết này.
Để mở đầu, tôi xin tŕnh bầy lư thuyết thông thường là lư thuyết sơ khai, để tính những trị số cực đại hay cực tiểu.
Tôi lấy một thí dụ quen thuộc là nhiệt độ không khí trong một ngày. Buổi sáng trước khi đi làm, vặn đài truyền h́nh ta thường nghe được tin tức báo về khí tượng trong ngày, từ nhiệt độ hiện tại rồi sẽ tăng tới mức cực đại vào một giờ nào đó trong ngày, rồi sẽ giảm tới một mức cực tiểu cũng vào một giờ nào đó vào ban đêm, để rồi lại tăng lên và bắt đầu chu kỳ tiếp nối ngày hôm sau. Chúng ta nói là nhiệt đô luân lưu thay đổi theo với thời gian. Trong toán học ta gọi thời gian là biến số, tượng trưng bằng chữ t , và nhiệt độ là hàm số tượng trưng bằng chữ x, và viết kư hiệu là x = f(t), và đọc là x là hàm số của thời gian t. Ta có thể biểu diễn bằng một đồ thị, sự biến thiên của nhiệt độ x, theo với thời gian t, vào một buổi sáng như theo H́nh 6 .
h́nh 6
Chẳng hạn lúc 9 giờ sáng, ta có nhiệt độ là 600 F , tượng trưng với đ́ểm M. Cách khoảng nửa giờ sau, ghi bằng một gia số thời gian là Δt (trong toán dùng chữ Delta để chỉ sự sai biệt) , ta thấy nhiệt độ tăng lên là 650 F tức là có gia số nhiệt độ là Δx = 50 F. Cái tỷ số Δx/Δt cho ta biết mức độ tăng hay giảm là bao nhiêu, nhiều hay ít. Nếu tỷ số lớn ta có mức tăng nhanh, cao lên ṿn vọt, và nếu tỷ số nhỏ th́ mức tăng từ từ. Như trong trường hợp này, vào khoảng từ 9 giờ đến 9 giờ rưỡi sáng, mức tăng nhiệt độ trung b́nh là mỗi giờ tăng lên mười độ và viết là 100 F/giờ. Nếu điểm M’ là điểm tượng trưng ở lúc 9 giờ 30 th́ cái tỷ số tính được ở trên cũng là độ dốc của đường MM’. Nếu ở điểm M ta vẽ đường tiếp tuyến MT với đồ thị th́ độ dốc của đường MT lớn hơn độ dốc của đường MM’. Như thế là v́ tỷ số tính được ở trên là tỷ số trung b́nh, hay c̣n gọi là độ dốc trung b́nh, c̣n trung thực ra th́ mức độ nhiệt độ tăng ở M (tức là ở 9 giờ sáng) th́ lớn và giảm đi dần dần, để khi tới M’ (tức là 9 giờ 30 ) th́ nhỏ hơn. Độ dốc của đường MT là độ dốc tức th́ (ở thời điểm 9 giờ sáng). Trong toán học ta gọi nó là đạo hàm của hàm số. Theo toán vi phân, ta chỉ cần ước lượng độ tăng hay giảm chút ít là biết được chiều hướng tức th́, tức là chiều hướng đương thời. Ta lấy quy ước là bao giờ cũng lấy số gia Δt của biến số thời gian là số dương. Trong trường hợp nhiệt độ tăng th́ Δx có trị số dương. Tỷ số Δx/Δt cũng là tỷ số dương. Nếu ta cho điểm M’ dần dần tới điểm M, th́ tới giới hạn đường MM’ trở thành đường tiếp tuyến MT, và độ dốc của MT hay là đạo hàm của hàm số cũng có trị số dương tượng trưng cho sự tăng của hàm số. Nếu từ điểm M ta lần lần đi theo đồ thị và ở mỗi điểm vẽ đường tiếp tuyến MT và ước lượng độ dốc của tiếp tuyến này th́ thấy độ dốc nhỏ dần dần và thành số không khi tới điểm cao nhất của đồ thị là điểm C cho ta thời điểm khi nhiệt độ ban ngày là cao nhất. Sau đó, độ dốc có trị số âm. Đó là v́ ta vẫn có Δt là trị số dương mà nhiệt độ lại giảm theo thời gian, nhiệt độ giờ sau kém nhiệt độ giờ trước. Tính Δx ta có trị số âm, và tỷ số Δx/Δt cũng thành âm.Tới giới hạn, thay v́ dùng độ giảm (hay độ dốc) trung b́nh ta lấy độ giảm tức thời (hay đă gọi là trị số đạo hàm), th́ ta cũng có đạo hàm với trị số âm và hàm số nhiệt độ đang giảm đi theo với thời gian. Và nếu ta tiếp tục theo đồ thị của nhiệt độ trong một ngày ta sẽ thấy khi đi vào ban đêm, độ dốc cũa tiếp tuyến với đồ thị, tuy vẫn c̣n trị số âm nhưng nhỏ đi dần dần và thành số không trước khi chuyển sang trị số dương. Lúc đó nhiệt độ ở mức thấp nhất gọi là cực tiểu.
Ở thời đại này, không ít th́ nhiều, chúng ta ai cũng quen thuộc với những đồ thị, nhưng những điều lư luận mô tả ở trên, phải đợi cho đến thế kỷ 17 qua hai nhà toán học lỗi lạc là Isaac Newton (1642-1727) ở Anh quốc và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ở Đức quốc mới được tŕnh bầy một cách minh bạch. Newton là người đă đề xuất ra những nguyên lư căn bản của Cơ học và cũng là người đă t́m ra định luật hấp dẫn của vạn vật. Ông viết một bài lư thuyết vào năm 1671, được đăng tải năm 1673 trong đó nói rằng nếu một biến số nào đang tăng lên th́ độ thay đổi có trị số dương, và khi biến số đó đang giảm đi th́ độ thay đổi có trị số âm. V́ vậy khi độ thay đổi là số không, đó là lúc biến số qua cực đại hay cực tiểu. Cùng một lúc, Leibniz khảo sát vấn đề dựa theo h́nh học và đăng một bài viết vào năm 1684 trong đó ông chứng minh rằng độ tăng hay giảm là độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị và khi tiếp tuyến nằm ngang với độ dốc có trị số không, đó là điểm cực đại hay cực tiểu của hàm số.
Những điều đă nói ở trên rất có thể các danh sĩ, thức giả Việt Nam khi xưa đă lầu thông nho, y, lư và số cũng đă biết nhưng dựa vào triết học siêu h́nh, không dùng lư luận để phân tách nên đă không diễn đạt ra một cách minh bạch. Để chứng minh điều này xin bạn đọc củng tôi lần giở lại mấy trang phương cảo xét lại mấy mối t́nh mà thi hào Nguyễn Du đă tả trong Truyện Kiều. T́nh cảm của con người cũng tăng hay giảm theo với thời gian. Muốn tính được mức độ tăng hay giảm ta phải thí dụ rằng có máy đo t́nh cảm con người và dùng một đơn vị, chẳng hạn đặt theo tên một triết gia như Henri-Louis Bergson (1859-1941), như ta đă dùng tên ông Ampère để làm đơn vị đo cường độ một gịng điện.
Kim Trọng, sau khi gặp nàng Kiều về nhà tưởng nhớ. Mối t́nh nẩy nở đă được Nguyễn Du tả như sau:
Chàng Kim từ lại thư song,
Nỗi nàng canh cánh bên ḷng biếng khuây.
Sầu đong càng khắc càng đầy,
Ba thu dọn lại một ngày dài ghê.
Mây Tần toả kín song the,
Bụi hồng lẽo đẽo, đi về chiêm bao.
Tuần trăng khuyết, đĩa dầu hao
Mặt mơ tưởng mặt, ḷng ngao ngán ḷng”.
Như ở đầu chương này, ta gọi Δt là số gia của thời gian và Δx là số gia của t́nh cảm, hàm số của thời gian, th́ ta thấy ở hai câu cuối khi nói đến tuần trăng tṛn rồi khuyết, đĩa dầu đầy rồi vơi là thi hào Nguyễn Du đă tả là thời gian đang trôi đi, tức là Δt có trị số dương và khi nói đến nhớ mong, mơ ước là biểu thị rằng Δx cũng có trị số dương, và có một độ lớn. Hai câu này đă dùng lượng để tả mối t́nh đang tăng lên diệu vợi, Kim Trọng đang tương tư nàng Kiều như ở đoạn sau đă có những câu nói thêm:
Mành Tương phất phất gió đàn,
Hương gây mùi nhớ, trà khan giọng t́nh.
Để nói về những mối t́nh đă tăng, hay giảm theo với thời gian và qua những mức độ cực đại hay cực tiểu, ta có thể lấy mối t́nh của Thúc Sinh đối với nàng Kiều là người vợ thứ, và đối với Hoạn Thư là người vợ chính. Sau khi được quan Phủ ở Lâm Truy cho phép lấy Thúc Sinh làm vợ thứ, ăn ở được gần một năm, Kiều khuyên Thúc Sinh về thăm nhà để ḍ ư người vợ chính bằng những câu:
“Phận bồ từ vẹn chữ ṭng,
Đổi thay nhạn, yến đă ḥng đầy niên.
Tin nhà, ngày một vắn tin,
Mặn t́nh cát lũy, nhạt t́nh tao khang.”
Khi nói chim nhạn đến mùa thu, và chim én tới mùa xuân, th́ Nguyễn Du đă tả thời gian trôi qua, mà thực sự nói rằng đă gần trọn một năm trời. Như thế số gia của thời gian Δt đă có trị số dương. Trong khi đó số gia của t́nh cảm, gọi là Δx, của Thúc Sinh đối vói nàng Kiều th́ lại mặn mà, v́ t́nh cát lũy là t́nh với loài dây leo, thân phận nhờ vả, ư nói người vợ thứ; c̣n t́nh với ngựi vợ chính là t́nh tao khang, là bỗng và cám, ư nói người chính thê, lấy nhau từ thuở hàn vi, th́ lại nhạt dần. V́ vậy Δx của Thúc Sinh đối với Kiều có trị số dương, t́nh cảm tăng theo với thời gian và Δx của Thúc Sinh đối với Hoạn Thư có trị số âm, t́nh cảm đối vói người vợ chính đă giảm đi theo với thời gian.
Thúc Sinh khi về thăm nhà cũng không dám thú thật câu chuyện với người vợ cả. Sau đó khi đang trên đường trở về Lâm Truy với nàng Kiều th́ mẹ Hoạn Thư là phu nhân Lại Bộ Thượng Thư đă cho gia nhân đi bắt cóc Kiều nương, lại đốt nhà sau khi bỏ vào thây người vô chủ, nên khi tới nhà, Thúc Sinh tưởng Kiều đă bị tai nạn hoả thiêu. Chàng than khóc và thương nhớ Kiều bội phần:
“Lâm Truy từ thuở uyên bay,
Buồng không thương kẻ tháng ngày chiếc thân.
Mày ai trăng mới in ngần,
Phấn thừa, hương cũ, bội phần xót xa.” Mấy câu này chứng tỏ rằng, qua với thời gian đang trôi đi, t́nh thương nhớ cũng tăng lên ṿn vọt. Nhưng mối t́nh này của Thúc Sinh đối với Kiều, rồi sẽ giảm đi, sau khi qua một cực đại, cũng như t́nh của chàng đối với Hoạn Thư tuy đang lạnh nhạt, nhưng khi đă xuống đến mức độ thấp nhất rồi cũng sẽ lại tăng lên. Muốn chứng tỏ điều này ta đọc mấy câu viết tiếp của thi hào Nguyễn Du:
“Sen tàn, cúc lại nở hoa,
Sầu dài, ngày ngắn, đông đà sang xuân.
T́m đâu cho thấy cố nhân?
Lấy câu vận mệnh khuây dần nhớ thương.
Trạnh niềm nhớ cảnh gia hương,
Nhớ quê, chàng lại t́m đường thăm quê.”
Hai câu đầu tả cảnh ngày tháng dần dần qua đi, hết mùa hạ hoa sen tàn lại tới mùa thu hoa cúc nở khoe ánh vàng chói lọi, rồi ngày lại ngắn đi trong những tháng đông, rồi tiếp theo đó là mùa xuân trở lại. Trong khi đó th́ đọc hai câu tiếp theo, ta thấy t́nh thương nhớ người xưa đang bớt dần dần. Độ dốc của t́nh yêu có trị số âm và như vậy chuyển từ dương sang âm phải qua trị số không và t́nh của Thúc Sinh với Kiều đă qua trị số cực đại. Ngoài ra, hai câu cuối cho thấy Thúc Sinh đă nhớ quê, t́m đường về thăm chính thê, mối t́nh của chàng với Hoạn Thư đă ấm lại, và một khi độ dốc của t́nh cảm đă chuyển từ âm sang dương, t́nh cảm tất nhiên đă qua mức độ thấp nhất trước đó rồi.
********
Cũng như ở chương trước, tôi kết thúc chương này bằng mấy tiểu truyện.
1/ Ư kiến dùng toán để phân tích t́nh cảm trong Truyện Kiều, tôi nẩy ra trong tâm thức cách đây mấy chục năm khi c̣n trong quân đội. Hàng tuần tôi được phép Bộ Quốc Pḥng dậy ít giờ toán ở trường Trung học Chu Văn An. Mục đích của tôi, đôi khi nói chuyện văn chương trong lớp là cho giờ toán đỡ khô khan và cũng để nhắc nhở học sinh biết tôn trọng những thi phẩm tuyệt tác của tiền nhân. Tôi cũng dùng đề tài đó để làm câu chuyện mở đầu nói với các thanh niên học sinh các trường trung học đô thành muốn gia nhập Không Quân Việt Nam lúc đó dưới quyền chỉ huy của tôi. Cũng nhờ đó mà các giờ dậy toán của tôi được học sinh chăm chú theo và một số các truờng trung học tư thục khác của một số các vị linh mục tôi quen biết mời tôi đứng tên vào ban giảng huấn, và Bộ Quốc Gia Giáo Dục cũng ấn hành mấy cuốn sách toán tôi viết. Làm những câu chuyện đó v́ tôi nghĩ rằng chút học vấn ḿnh đă thu thập được ở học đường, nhất là trong mấy năm được du học ở xứ người, nên t́m cách để truyền thụ lại cho thế hệ sau. Cũng v́ vậy mà trong cuộc đời, tôi đă theo đúng lễ nghĩa của thánh hiền, đặc biệt tôn trọng những vị thầy học của ḿnh.
Bài luận thuyết về “Những hàm số t́nh cảm trong Truyện Kiều” cho đến bây giờ tôi mới thực sự viết ra trên giấy, sau khi đă đọc những sách về tâm lư học và biết rằng người ta đă có những phương sách để đo sự rung cảm của con người. Ngoài một vài trích đoạn trên đây, tôi đă diễn tả thêm với tính cách văn học hơn trong một bài với tựa đề là “Nguyễn Du với Ḍng Thời Gian” và trong một ấn tŕnh của bài này cho một số báo Xuân, nhà thư hoạ Vũ Hối nổi danh với nét bút tuyệt vời, đă thư hoạ gần một trăm câu thơ lục bát Kiều tôi trích dẫn trong bài.
2/ Trong những năm c̣n ở nước nhà, tuy chỉ dậy có 4 giờ mỗi tuần, nhưng nếu kể cả những học sinh đă dùng những sách toán tôi viết, tôi đă có nhiều học tṛ ở cả hai phái nam và nữ. Tôi không thể nào nhớ hết được tất cả mọi người nhưng mỗi khi, ở những nơi hội họp mà có người đến tự giới thiệu để chào thầy cũ lại mang cho tôi một niềm an ủi như trong tâm sự của Trần Khánh Dư:
“Ở với lửa hương cho vẹn kiếp.
Thử xem đá sắt có bền gan,
Ít nhiều miễn được đồng tiền tốt,
Hơn thiệt nài bao, gốc củi tàn.”
Một lần tôi sang thành phố Toronto ở Canada để làm diễn giả danh dự cho buổi lễ phát thưởng cho học sinh Việt Nam xuất sắc do Hội Phụ Huynh Học Sinh và Giáo Chức cùng Hội Cao Niên và Hiệp Hội Chuyên Gia Ontario tổ chức. Trong giờ nghỉ, một bà đến chào và nói trước kia học lớp tôi dậy toán ở trường Hưng Đạo. Tôi nhớ rằng có một dịp hè, linh mục Trần Đức Huynh là người tôi rất qúy trọng và hiện là giám đốc trường này, đă thân hành lại nhà nhờ tôi dậy hộ mấy giờ toán cho một giáo sư nghỉ dưỡng bệnh và tôi đă nhận lời. Trong một thời gian ngắn ngủi và dù đă hơn ba mươi năm qua tôi vẫn c̣n nhớ được mấy cô nữ sinh ngồi bàn đầu và lúc nói chuyện tôi vẫn quen miệng gọi người học tṛ cũ là cô. Sau này có người cho tôi biết là bà Nguyễn Tăng Chương, cùng với phu quân là chủ nhiệm tờ Nguyệt san Sóng ở Toronto. Một lần khác chúng tôi về San Jose, được anh chị bác sĩ Nguyễn Thượng Vũ mời dự một buổi dạ hội, có một vị khách tới chào và tự giới thiệu là Trần Thanh Điền, trước kia có học Toán với tôi ở trường trung học Pétrus Kư. Tôi đă biết là Hải quân Đại tá Điền từng làm việc thân cận với Tổng Thống Nguyễn Văn Thiệu nhưng không ngờ là trước kia ông học toán với tôi ở trường Pétrus Kư. Ngoài ra đây cũng là điều ít người biết là tôi đă từng dậy học ờ Pétrus Kư v́ tôi cũng chỉ dậy ở đó mấy tháng mà thôi. Vào dịp tôi mới du học ở Pháp về vào giữa những năm 50, v́ thiếu giáo sư dậy toán trung học nên tôi được nhiều trường mời dậy giờ. Cậu em nhà tôi là bác sĩ Cung Hồng Vũ, lúc đó đang t́m cách chuyển từ trường tư thục các sư huynh công giáo dậy theo chương tŕnh Pháp, sang trường công lập, lúc đó ở Pétrus Kư vẫn c̣n mở lớp, nên tôi đă nhận lời dậy cho trường để Hồng Vũ có thể đương nhiên nhập học với tính cách là con em giáo sư.
3/ Một buổi chiều khác, đang ngồi đọc sách ở thư hiên, tôi được điện thoại viễn liên, ở đầu dây bên kia có người tự xưng là ở gia đ́nh Vơ Văn Trưng. Tôi đă được biết về gia đ́nh của giáo sư Vơ Văn Trưng qua báo chí và truyền h́nh Việt Nam và đặc biệt qua bài giới thiệu của giáo sư âm nhạc Amy Catlin của Đại học UCLA. Gia đ́nh gồm có cha mẹ và 7 người con tuổi từ 15 đến 30, từ mười năm nay đă giới thiệu văn hoá cổ truyền Việt Nam với khán thính giả Việt Nam và Hoa Kỳ qua đài truyền h́nh trên toàn quốc và tŕnh diễn tại các ngày lễ và đại hội ở nhiều nơi tại California. Theo giáo sư Catlin, đây là một gia đ́nh có tài tuyệt vời giống như gia đ́nh Von Trapp rất đáng yêu trong truyện phim “The Sound of Music”. Họ có thể biểu diễn một cách tuyệt vời dùng những nhạc khí cổ truyền như đàn bầu, đàn tranh, nhị, sáo, tam thập lục huyền cầm và c̣n tŕnh diễn những bài hát bội làm cho khán thính giả xúc động theo khi nghệ sĩ đóng vai bi thảm, và cười nức nở khi coi những màn hí lạc. Giáo sư Trưng, không những đă có công viết mới lại những vở chèo cổ điển Việt Nam, ca tụng đức tính hiếu thảo, ḷng chung thủy, t́nh yêu và đạo lư, ǵn giữ cho t́nh gia đ́nh bền chặt của Việt Nam mà ông c̣n nghiên cứu vơ thuật dậy các con biểu diễn những màn Thái cực quyền và Thái cực kiếm đặc sắc. Buổi điện đàm một buổi chiều với một người phương xa, giọng nói tao nhă, ân cần, với tôi xưng là em và gọi là thầy, đă đưa lại cho tôi một niềm vui vô tận. Tôi không dậy môn địa lư hay văn chương, hay lịch sử, hay môn khoa học nhân văn nào để có thể truyền tâm t́nh đến các học sinh của tôi. Tôi đă chỉ dậy về Toán, đại số, cơ học hay h́nh học có những đường thẳng song song hay thẳng góc, dùng phấn trắng vẽ trên bảng đen, không có mầu sắc đậm đà. Khi lư luận th́ dùng lư trí, nếu không đúng th́ phải là sai, không có những chuyện nửa vời, v́ những nhóm chữ “h́nh như là” hay là “có thể” thật ra không có trong ngôn ngữ toán học. Vậy mà, qua nhiều năm, vẫn có những người nhớ tôi là thầy học cũ, có lẽ là v́ qua những chứng minh chính xác của toán học, khi thuyết giảng, đôi khi tôi đă chen chút tâm t́nh. Trước khi kết thúc buổi điện đàm, tôi hỏi người phương xa: “Anh là con thứ mấy trong gia đ́nh?” Câu trả lời đă làm tôi sững sờ: “Thưa thầy, em là Vơ Văn Trưng, người cha của gia đ́nh này”.
Tôi muốn kết luận chương này với một điều thắc mắc trong thơ Kiều. Như ở trên tôi đă viết về mối t́nh tương tư của Kim Trọng với Thúy Kiều:
“Sầu đong càng khắc càng đầy,
Ba thu dồn lại một ngày, dài ghê”
Câu ở trên có bản chép là “càng lắc càng đầy”, ư nói sầu như hạt ngũ cốc đong bằng đấu, càng lắc mà thay v́ vơi xuống lại càng tăng lên. Dù cho dùng chữ “lắc” hay chữ “khắc” ở đây, câu thứ nhất chỉ có nghĩa là thời gian trôi đi, nghĩa là Δt có trị số dương và mối t́nh tăng lên, nghĩa là Δx cũng có trị số dương. Như thế, tỷ số Δx/Δt có trị số dương và cho ta biết độ tăng theo với thời gian của mối t́nh. Câu thứ hai đều được các giáo sư Việt văn dẫn giải là dịch chữ trong Kinh Thi: “Nhất nhật bất kiến, như tam thu hề” là “một ngày không được nh́n thấy nhau th́ tưởng như dài bằng ba năm”. Ông Vân Hạc Lê Văn Ḥe, trong cuốn Truyện Kiều Chú Giải cũng đă nhận ra rằng câu của Nguyễn Du lại là câu dịch ngược lại v́ thi hào đă viết là ba năm nay thu lại thành một ngày nghĩa là làm ngắn đi vào khoảng một ngàn lần. Ông Vân Hạc cho rằng có lẽ v́ thế mà câu dịch lại hay hơn nguyên tác.
Ta thử đặt câu hỏi là làm sao làm ngắn thời gian mà cụ Nguyễn Du, một người văn vơ song toàn, mệnh danh là Hồng Sơn Liệp Hộ, đă rất sáng suốt về khoa học khi diễn tả tâm t́nh biến đổi theo thời gian ở những câu thơ khác, lại tự viết mâu thuẫn ở đây, đă làm ngắn mà lại thành dài ra. Suy luận ra th́ ta có thể hiểu câu đó là thời gian đă thu gọn lại làm cho mối t́nh tăng lên ṿn vọt.
Bạn đọc hăy trở lại mấy trang sách và coi H́nh 6 cho tỷ lệ tăng Δx/Δt của nhiệt độ vào khoảng 9 giờ sáng. Nếu vẫn giữ nguyên gia số của nhiệt độ là Δx = 50 F nhưng thay v́ phải mất nửa giờ nghĩa là Δt = 30 phút, nay ta làm gia số này ngắn lại một ngàn lần nghĩa là chừng một giây đồng hồ, ta sẽ hiểu ngay rằng mức độ tăng lên ṿn vọt như hoả tiễn thăng thiên v́ chỉ trong khoảng một tích tắc của đồng hồ, nhiệt độ đă tăng lên 50 F. Trở lại câu thơ của Kiều, nếu giữ nguyên gia số của t́nh mong nhớ Δx mà cho gia số của thời gian Δt thay v́ 3 năm, nay chỉ là một ngày, th́ mức độ tăng sẽ lớn lên một ngàn lần, làm chi mà chàng Kim chẳng lân la t́m mọi cách để gặp lại Vương Thúy Kiều.
Thi hào Nguyễn Du, trong bài thơ “Độc Tiểu Thanh Kư” đă viết hai câu kết
“Bất tri tam bách dư niên hậu,
Thiên hạ hà nhân khấp Tố Như?”
dịch là:
“Ba trăm năm lẻ nào hay biết,
Thiên hạ ai người khóc Tố Như?”
Hai câu thơ viết của tác giả ngụ ư là không biết sau này có c̣n ai là người hiểu ḿnh không. Cụ Nguyễn Du mất năm Minh Mệnh nguyên niên (1820), tới nay chưa tṛn hai trăm năm. Giờ nếu con em chúng ta đọc không thông vần quốc ngữ th́ câu viết của tác giả truyện Kiều sẽ thành câu tiên tri về đời sau.
Tầm Xa của Phi Đạn
Đến đây, chúng ta đă có được chút hiểu biết sơ khai về “Lư Thuyết Cực Đại và Cực Tiểu Thông Thường” của một hàm số phụ thuộc vào một biến số như ta đă biểu thị bằng kư hiệu x = f(t). Ta đă dùng biến số là thời gian để dẫn giải vài thí dụ, nhưng ta có thể lấy bất kỳ một lượng nào để làm biến số. Chẳng hạn chiều dài một thanh sắt co dăn tùy theo nhiệt độ của thanh sắt ấy và ta có thể viết là d = f(x) và đọc là chiều dài d là hàm số của nhiệt độ x .
Một hàm số cũng có thể phụ thuộc nhiều biến số. Chẳng hạn ta tưởng tượng nh́n xuống một mô h́nh một miền đồi núi, có chỗ cao có chỗ thấp. Muốn định một vị trí ta phải dùng hai toạ độ, x là hoành độ, và y là tung độ. Mỗi điểm lại có một chiều cao so với mức độ mặt bể. Ta có thể biểu diễn cao độ của miền đồi núi này bằng một hàm số viết là z = f(x,y) và đọc là cao độ z ở mỗi điểm trên mặt miền đất này là hàm số của hai biến số là những toạ độ x và y theo như trên H́nh 7.
Cũng như vậy, mỗi buổi sáng nghe tin tức khí tượng qua đài truyền h́nh ta cũng được nh́n bản đồ của miến đất liên hệ trên đó cũng có những vành mầu sắc, mỗi mầu tượng trưng cho một nhiệt độ. Quen mắt nh́n ta có thê hiểu ngay nơi nào có nhiệt độ cao nhất và nơi nào có nhiệt độ thấp nhất. Muốn tính được những trị số cực đại hay cực tiểu đó, sở khí tượng phải dùng những tin túc, gọi là dữ kiện, cho biết nhiệt độ ở nhiều nơi rồi do đó mà tạo ra một mô h́nh nhiệt độ cũng như là mô h́nh đồi núi cao thấp. Có được hàm số này, ta viết kư hiệu là N = f(x,y) và đọc là nhiệt độ N tùy thuộc vào toạ độ x và y. Trở lại hàm số cao độ nói trước đây là z = f(x,y), nếy ta đứng ở miền dốc, nh́n lên ta thấy dốc lên, nghĩa là về phía đó Δz có trị số dương. Ngược lại, cũng ở sườn dốc đó mà nh́n xuống, ta thấy Δz có trị số âm v́ khi ta đi xuống, độ cao sẽ giảm đi. Chỉ cần di chuyển chút ít là biết sẽ lên hay xuống. V́ vậy ta gọi sự sai biệt chút ít này là sự biến thiên và dùng kư hiệu δz (chữ delta nhỏ thay v́ chữ hoa). Chỉ khi nào ta đứng ở đỉnh cao nhất ở một khu nào, th́ khi nh́n về bất kỳ một phía nào, độ cao cũng vẫn thế. Ta kết luận là khi ở điểm cực đại, sự biết thiên là số không và bắt đầu phép tính bằng cách viết δz = 0. Lư luận này cũng đúng khi ta đúng ở chỗ thung lũng trũng nhất v́ ỡ điểm đó, đi vể bất kỳ hướng nào cũng không xuống thấp hơn được nữa.
Lư thuyết cực đại và cực tiểu thông thường nay đă được nghiên cứu tận củng và tổng quát cho những hàm số phụ thuộc nhiều biến số và đă có những chương tŕnh điện toán tính ngay được trong giây lát những vị trí cực đại hay cực tiểu ở đó.
H́nh 7
(Xem tiếp phần 2)
