Nhưng lý thuyết này chỉ là lý thuyết sơ khai. Đáp số của bài giải lại rất giản dị. Chẳng hạn lấy thí dụ hàm số nhiệt độ trong một ngày nào đó, ta có được ngay kết quả là lúc 2 giờ 48 phút buổi chiều có nhiệt độ cao nhất là 760 và ban đêm vào lúc 3 giờ 15 phút buổi sáng, nhiệt độ xuống thấp nhất là 520 F. Có một mô hình một miền đồi núi nào, dùng chương trình điện toán có thể tính ngay ra, chẳng hạn toạ độ (x0, y0) của điểm cao nhất, z0 = 3452 mét và tọa độ (x1, y1) của điểm thấp nhất với cao độ là z1 = 218 mét.

Bạn đọc có thể hỏi: “Vậy thì phép tính biến thiên khác ở điểm nào?” Ta có câu trả lời bằng cách coi lại đường cycloid ở Hình 4. Dọc theo đường này, bắt đầu từ điểm O là điểm cao nhất, xuống tới điểm A là điểm thấp nhất, ở mỗi vị trí của vòng tuột, ta vẽ đường tiếp tuyến với đường cycloid. Đường này cho biết hướng đi của cái vòng. Muốn chứng minh rằng đường này là đường tuột dốc nhanh nhất, ta phải liên tục tính độ dốc ở mỗi thời điểm rồi dùng độ dốc lý tưởng, nghĩa là độ dốc tối ưu rồi cho vào phương trình chuyển động của cái vòng để tính thời gian tuột xuống điểm A. Sau đó phải so thời gian này với thời gian tuột dốc theo bất kỳ một đuờng nào để chứng tỏ thời gian theo đường cycloid là thời gian ngắn nhất. Nói tóm lại, phép tính cực đại và cực tiểu thông thường chỉ cần cho đáp số ở một điểm, là điểm cho trị số cực đại hay cực tiểu của một hàm số. Trái lại phép tính biến thiên được dùng để tính một cách liên tục đáp số ở bất kỳ một điểm nào, nghĩa là từ đầu cho tới cuối, bài tính sẽ phức tạp hàng trăm ngàn lần. Chính vì thế mà những chuyên gia tính toán bằng điện toán, họ giải quyết bài toán tuột dốc như sau. Dĩ nhiên lúc đầu họ không biết đường cycloid nhưng tạm coi là có một đường gấp khúc gồm có 100 đoạn thẳng ngắn nối liền với nhau đi từ O tới A. Đi từ đoạn này, sang đoạn nối tiếp, độ dốc lại lệch đi một chút. Sau đó dùng máy tính điện tử để cho một cách chớp nhoáng thời gian tuột dốc. Mỗi lần tính lại được một kết quả, chẳng hạn tính lần đầu được thời gian gọi là t1. Sau đó thay đổi chút ít các độ dốc theo chiều hướng để làm sao được thời gian ngắn đi gọi là t2 . Cứ như thế mà giảm dần, mỗi lần thêm hay bớt lại giảm đi được một khoảng thời gian Δt. Dĩ nhiên cho đến lúc không làm sao ngắn thời gian được nữa thì cái biến thiên rất nhỏ này sẽ là δt = 0. Lối tính này cho lời giải một cách nhanh chóng, chi trong một chớp mắt đã vẽ được ra hình cycloid. Chì có một điều là bài giải không cho biết phương trình toán học của đường giây này và theo đó không biết những tính chất hình học kỳ diệu của hình như đã nói trước đây.

Tôi lấy một thí dụ khác nữa để phân biệt phép tính cực đại và cực tiểu thông thường và phép tính biến thiên.

Hình 8 cho ta thấy đạn đạo của một khẩu đại bác đặt ở đìểm O. Viên đạn lúc ra khỏi nòng có một vận tốc ban đầu là V0 . Sau đó viên đạn chỉ bị sức hấp dẫn của trái đất và sức cản của không khí và sẽ theo một qũy đạo để rơi xuống đích ở một khoảng xa gọi là D. Tầm xa này tùy thuộc hình thể và cấu trúc của viên đạn vì nó gây ra sức cản của không khí, và mặt khác tùy thuộc tỷ trọng của không khí trong ngày hôm đó.

Vì vận tốc ban đầu của viên đạn khi ra khỏi nòng súng là V0 đã có sẵn , tầm xa lại còn phụ thuộc vào góc bắn của đại bác gọi là α như trên hình. Ta cũng có ý niệm tương tự khi dùng một vòi nước để tưới một bồn hoa ở xa. Nếu góc bắn thật lớn, gần bằng 900 , thì đường đạn sẽ đi thẳng lên trời và đạn rơi gần chỗ bắn. Nếu ta giảm dần góc bắn α (hay là góc tưới của vòi nước) sẽ thấy tầm của cái đích xa dần dần. Nhưng khi đạt được một góc tối ưu nào đó mà được lợi tầm xa nhất, gọi là góc α* , thì ta sẽ thấy hiện tượng là dùng góc nhỏ hơn α* sẽ không tốt mà dùng góc lớn hơn α* cũng không tốt. Lúc đó tầm xa không thể nào làm hơn đươc nữa và ta có sự biến thiên bằng số không, nghĩa là δD = 0. Nếu ta làm bài tính dản dị đi bằng cách bỏ ra ngoài sức cản của không khí và không để ý đến đường cong của trái đất thì sẽ tính ra rất dễ dàng là α* = 450 . Đây là bài tính cực đại và cực tiểu thông thường. Đại bác chỉ dùng cho những tầm xa có giới hạn, chửng mười dặm trở lại. Muốn bắn phi đạn xa hơn nữa thì phải cần một vận tốc ban đầu rất lớn. Theo bài tính giản dị, nếu không kể sức cản của không khí và đuờng cong của trái đất thì tầm xa cực đại của đạn đạo cho bởi công thức

D = V02 / g

mà V0 là tốc độ ban đầu và g là độ gia tốc trọng lực với trị số là g = 9.81 m/giây-giây. Chẳng hạn nếu vận tốc ban đầu của viên đạn bằng vận tốc âm thanh nghĩa là V0 = 340 m/giây thì tầm xa là D = 11 km 784. Nếu kể cả sức cản của không khí thì tầm đạn cực đại này còn ngắn đi nhiều. Muốn chế tạo đại bác để bắn xa hàng trăm dặm hay bắn liên lục địa hàng mấy ngàn dặm thì phải có thuốc nổ thật mạnh và chế tạo nòng súng sao cho có được những vận tốc khổng lồ. Nhưng dù cho có đạt được những vận tốc thật lớn thì cũng không thể bắn đi xa được vì lẽ sức cản của không khí lại tỷ lệ theo với bình phương của vận tốc. Nếu tăng vận tốc lên hai lần thì sẽ tăng sức cản lên bốn lần. Với sức cản lớn tầm xa của đạn đạo sẽ ngắn đi rất nhiều. Vì vậy, muốn bắn xa, người ta phải chế tạo hoả tiễn với lý thuyết chuyển động theo Hình 9.

Hình 9

Lúc mới đẩu hoả tiễn đứng yên ở giàn phóng ở điểm O. Sau khi khai hoả, hoả tiễn có một sức đẩy F lớn hơn trọng lượng W làm cho hoả tiễn bay lên từ từ. Vận tốc lúc đầu nhỏ và sẽ tăng dần. Điều này là một lợi điểm vì sức cản của không khí, tượng trưng bởi lực A ở trên hình, tỷ lệ theo với tỷ trọng của không khí và bình phương với vận tốc. Ở dưới thấp, tỷ trọng của không khí còn lớn nên cần giữ vận tốc nhỏ để sức cản không lớn quá độ. Khi hoả tiễn đã lên cao, vào khoảng 15 km, tỷ trọng của không khí chỉ bằng một phần mười tỷ trọng trên mặt đất, vận tốc dù có lớn nhưng sức cản của không khí trên đạn đạo cũng không lớn quá hạn. Dùng nguyên lý động lực của Newton, người ta có thể tính qũy đạo gây ra bởi tổng hợp của ba lực là trọng lượng W, sức cản A và sức đẩy F. Sức đẩy của hoả tiễn tùy theo sự đốt cháy nhiên liệu trong động cơ và điều này đã được thử nghiệm trước. Như thế nghĩa là những kỹ sư chế tạo động cơ đã cho ta biết trước sức đẩy F như là một hàm số của thời gian, thay đổi theo từng phút, từng giây ra sao từ thời điểm ban đầu ở gốc toạ độ O cho tới điểm triệt hoả là điểm A, khi nhiên liệu cháy hết. Để tổng kết lại, qũy đạo của hoả tiễn tầm lớn hay liên lục địa nay chỉ còn tùy thuộc chiều hướng của sức đẩy F , biểu thị bằng góc gọi là θ ở trên Hình 9. Nếu biết cách lựa chọn góc này để hướng dẫn đường bay của hoả tiễn thì khi tới điểm triệt hoả là điểm A, lúc đó trên cao độ mấy chục cây số, tỷ trọng không khí gần như là số không và không còn sức cản lớn, hoả tiễn đạt được vận tốc khởi thủy V0 rất lớn và ở một góc bắn tuyệt hảo để sẽ theo đó mà đạt được tầm xa D cực đại. Góc θ gọi là phương của sức đẩy, không hẳn là cố định mà thay đổi theo với thời gian. Lấy lý mà suy thì ta có thể nghĩ rằng góc θ lúc đầu rất lớn, gần như 900 để hỏa tiễn lên thẳng và dần dần sẽ nhỏ đi. Đây cũng là một bài tính có thể dùng máy điện toán để giải quyết một cách nhanh chóng. Các chuyên gia tính toán sẽ chia thời gian cháy nhiên liệu làm nhiều khoảng ngắn, chẳng hạn mỗi khoảng là 10 giây đồng hồ. Sau đó ước đoán phương cho θ cho mỗi khoảng, chẳng hạn 10 giây đầu dùng θ là 800 , 10 giây kế tiếp giảm xuống 750 vân vân ...Máy tính điện tử với siêu tốc độ sẽ cho trong khoảnh khắc quỹ đạo đi từ O đến A, cho biết vận tốc V0 , và góc bắn ở điểm A và sau đó tính luôn cả đạn đạo cho đến lúc chạm đất và được tầm xa gọi lả D1 . Sau đó dùng một chương trình điện toán để thay đổi phương θ ở mỗi khoảng thời gian, hoặc thêm, hoặc bớt chút đỉnh, nhưng phải theo chiều hướng sao cho lần này tầm xa tổng cộng D2 có được phải lớn hơn lần trước, nghĩa là phải có số gia tăng ΔD = D2 - D1 có một trị số dương. Mỗi lần lập lại như thế tầm xa lại tăng lên chút ít và theo lẽ thông thường, khi tính đúng chiều hướng, sự tăng này lúc đầu khá lớn nhưng sau sẽ giảm đi dần dần. Khi không còn cách nào làm hơn được nữa, sự biến thiên sẽ là số không, nghĩa là δD = 0. Sự tăng rồi cũng tàn lụi dần, và qũy đạo tính được ra lần cuối cùng sẽ là qũy đạo cho hoả tiễn có tầm xa cực đại.

Giờ đây nếu bạn đọc coi lại hai câu thực trong bài “Bán Than” của Trần Khánh Dư, tôi đã để thêm dấu phẩy như sau:

“Ít, nhiều, miễn được đồng tiền tốt,

Hơn, thiệt, nài bao gốc củi tàn!”

chắc chắn bạn đọc sẽ hiểu thêm ý nghĩa của mấy câu thơ này.

Để kết luận chương này, tôi có thể nói là có hai chiều hướng để tìm ra qũy đạo tối ưu. Chiều hướng thực tế hơn cả là phép tính trực tiếp. Bằng cách này, những kỹ sư thiết kế những đường bay không gian kiến trúc một chương trình để tính qũy đạo dựa vào một phép điều khiển dự đoán lúc ban đầu. Chẳng hạn khi tính tầm xa của phi đạn thì dùng một phương θ (t) của sức đẩy, thay đổi với thời gian t, để cho lúc đầu thì có độ lớn rồi nhỏ dần dần như đã tả ở trên. Sau đó lập lại phép tính lần thứ hai, rồi lần thứ ba, vân vân ... Mỗi lần tính phải thay đổi phuơng của sức đẩy chút ít nhưng sự thay đổi này cũng phải dựa vào một công thức toán học nhằm sao cho kết quả của phép tính phải tốt hơn lần trước. Như trong trường hợp tầm xa D của phi đạn thì kết quả sau phải lớn hơn lần trước. Nếu là một chương trình phóng phi thuyền không gian vào qũy đạo thì vận tốc sau củng V0 ở điểm triệt hoả A phải đạt được mức tối đa với một số nhiên liệu hạn định trước. Sau nhiều lần tính liên tiếp mà khi thấy mức độ tăng trở nên không đáng kể thì coi như là đã tìm ra lời giải cho bài toán.

Một chiều hướng thứ hai hoàn toàn dựa vào toán học thuần lý để viết ra những phương trình cần thiết dựa theo nguyên tắc là theo qũy đạo tối ưu thì sự biến thiên phãi là số không. Như đã nói ở trên, những phương trình này được gọi là phương trình của Euler và Lagrange. Phương pháp này được gọi là phương pháp gián tiếp. Gọi là gián tiếp có nghĩa là thay vì tính thẳng ra qũy đạo tối ưu, người ta chỉ tìm cách tìm ra một chương trình điều khiển, chẳng hạn phương θ(t) dưới dạng một hàm số của thời gian, với điều kiện cần thiết là hàm số này phải là phép giải của phương trình Euler và Lagrange. Chỉ có một điều là phần viết ra phương trình thì dễ, nhưng đến lúc giải phương trình, dù cho có dùng máy điện tử siêu tốc độ chăng nữa, cũng tốn nhiều thì giờ để cho đáp số hội tụ một các chính xác.

Mấy Nhịp Cầu Treo

Tôi bắt đầu học Phép Tính Biến Thiên không phải để tính qũy đạo tối lợi mà vì theo học môn Hình Học Cao Cấp (Géométrie Supérieure) ở Đại học Marseille cách đây cũng đã trên bốn mươi năm. Môt bài toán được đặt ra vào những năm đầu của thế kỷ 18 khi phép tính biến thiên đang được xây dựng thành hình là bài toán sau đây:

“Trong một mặt phẳng, quy tụ theo hệ thống toạ độ thẳng góc Oxy, lấy hai điểm A và B. Tìm ra đường cong chạy qua hai điểm này để làm sao khi quay chung quanh trục Ox, đường cong này tạo ra được một mặt tròn xoay có diện tích chung quanh là một diện tích tối thiểu”.

Theo như Hình 10, ta có thể thấy ngay rằng nếu nối A và B bằng một đường thẳng thì sau khi quay chung quanh Ox, đoạn AB sẽ tạo ra một hình nón cụt tròn xoay. Nếu gọi R1 là bán kính của vòng tròn vẽ bởi điểm A và R2 là bán kính của vòng tròn vẽ bởi điểm B, gọi d là độ dài của đoạn thẳng AB thì diện tích của hình nón cụt tròn xoay, gọi là S, sẽ cho bởi công thức: S = π d (R1 + R2)

với trị số của π là 3.14159 ...

Diện tích này lớn hơn diện tích S* là diện tích của đường cong giải đáp bài tính vẽ ở phía dưới đoạn thẳng AB. Muốn chứng tỏ rằng diện tích S không phãi là diện tích nhỏ nhất thì ta so diện tích này với diện tích S1 gây ra bởi đường gấp khúc AIJB. Vì đoạn IJ nằm trên Ox, không gây ra mặt tròn xoay, nên S1 là tổng số diện tích hai vòng tròn với bán kính R1 và R2 . Như vậy, ta có:

S1 = π (R12 + R22)

Ta dùng ký hiệu > để tỏ sự lớn hơn và viết rằng S > S1 , hay là

π d(R1 + R2) > π(R12 + R22)

Nếu lấy quy ước R1 là bánh kính lớn, nghĩa là R1 > R2 thì ta sẽ thấy ngay là khi cho hai điểm A và B cách nhau khá lớn để cho d = R1 thì bất đẳng thức viết trên đâyđược nghiệm đúng ngay. Ta kết luận là đoạn thẳng AB không gây ra diện tích nhỏ nhất.

Đường cong, là lời giải đáp, gây ra diện tích nhỏ nhất, như vẽ trên Hình 10, gọi là đường Catenary , hay còn có thể gọi là đường dây treo. Gọi như thế này thật là đúng với ý nghĩa của hình vì cũng như đường Cycloid được vạch ra bởi một điểm trên vành bánh xe lăn, ta có đường catenary bằng cách treo giữa hai điểm A và B một sợi giây đồng chất và thật mềm. Tuy có một dạng chung nhưng hình dáng của hình cũng thay đổi, vi cùng giữ nguyên một độ dài của giây mà nếu cho hai điểm A và B gần nhau thì sợi giây trũng xuống và nếu dang rộng ra thì sợi giây có hình soải dài.

Muốn giải bài toán này bằng phương pháp trực tiếp thì ta chia đoạn giây phỏng đoán làm nhiều phần bằng nhau, mỗi phần thay bằng một đoạn thẳng rất nhỏ. Chẳng hạn nếu chia làm n phần thì khi quay chung quanh Ox ta được một mặt tròn xoay gồm có n mặt nón cụt. Ta tính được diện tích tổng cộng một cách dễ dàng. Sau đó thay đổi độ dốc của những đoạn giây kế tiếp để được một diện tích nhỏ hơn để cho đến lúc không làm nhỏ hơn được nữa là ta có được một hình treo của một sợi giây xích gồm n đoạn nhỏ. Dùng phép ngoại suy để vẽ đường giây cho tròn trặn, ta có ngay được đường catenary. Nếu dùng phương trình của Euler và Lagrange, để tìm lời giải thì ta có được phương trình của đường catenary viết theo hàm số

y = b cosh [ (x - a)/b ]

Ký hiệu cosh đọc là cosin hyperbol còn hai hệ số a và b là hai hệ số phải được lựa chọn để cho đường cong được biểu thị bởi phương trình này chạy qua hai điểm A và B đã cho sẵn.

Đường giây treo cho bởi phương trình trên dĩ nhiên đã được thực nghiệm trước khi tính chất toán học của hình được tìm ra. Nhà bác học người Ý là Galileo (1564-1642) mới đầu cho rằng đây là một hình parabol. Muốn có ý niệm của một hình parabol thì ta tưởng tượng một hình đạn đạo trong chân không, loại bỏ sức cản của không khí như theo Hình 8. Quay ngược hình parabol thì có được một đường gần giống như hình giây treo. Đi lễ chùa, nhìn tượng Phật ta thấy những nếp áo trùng trước ngực, đó cũng là những hình ảnh gần đúng với đường catenary vì cũng là những lớp vải treo.

Một hình ảnh đẹp cho ta khái niệm về đường catenary là hình giây treo của cây cầu Golden Gate ở thành phố San Francisco. Một điều đặc biệt nữa là lúc mới chăng giây thép qua những trụ đặt xuống lòng bể thì những sợi giây có hình catenary, nhưng sau này khi người ta dùng những sợi dây thòng xuống để treo những nhịp cầu thì đường giây treo là đường catenary tất nhiên phải đổi dạng. Những nhà toán học, dựa vào môn cơ học thuần lý và đặt giả thuyết là những nhịp cầu nhỏ này dài và nặng bằng nhau, và hơn nữa có trọng lượng lớn hơn của những sợi giây treo gấp bội, thì hình của giây treo giũa hai đỉnh cột cầu lại thực sự là một hình parabol tức là hình quay ngược của đường đạn trong chân không. Bạn đọc có thể nhìn thấy một cách khái quát hình parabol khi ném hòn đá theo một đường vòng lớn.

Mới đầu người ta chỉ để ý đến tính chất hình học của đường catenary khi quay chung quanh đường Ox (Hình 10) sẽ tạo ra một mặt tròn xoay có diện tích tối thiểu. Mặt tròn xoay này được đặt tên là mặt catenoid, và có tính chất là nếu đặt hai vòng tròn có mặt phẳng song song với nhau và cùng có chung một trục, thì trong tất cả các mặt chạy qua hai vòng tròn ấy thì mặt catenoid có diện tích nhỏ nhất. Tự đó mà nhà toán học Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) là một Bá tước Pháp, đã đặt ra bài tính là nếu cho sẵn một đường cong phép kín mà không phẳng thì tìm sao ra một mặt chạy qua đường cong này mà có diện tích nhỏ nhất. Bài tính này được đặt ra năm 1760 và như đã nói ở trên, bất cứ một mặt nào, như là mặt một miền đồi núi, có thể được biểu diễn bởi một hàm số của hai biến số là z = f(x,y), Bá tước Lagrange đã chứng minh đươc rằng phương trình được nghiệm bởi hàm số giải đáp là một phương trình vi phân riêng phần bậc hai, rất khó tìm lời giải. Trong vòng một trăm năm tiếp theo, những nhà toán học nghiên cúu môn Hỉnh Học Vi Tích, tuy không hẳn tìm ra lời giải đáp là tìm được một mặt chạy qua môt hình cong khèp kín mà có dìện tích tối thiểu so với các mặt khác cùng chạy qua đường cong này, nhưng đã phám phá ra nhiều mặt có hình dáng đặc biệt, chẳng hạn như hình catenoid nói trên đây. Đến năm 1968, một nhà vật lý học người Pháp tên là Plateau khám phá ra được rằng nếu lấy giây thép uốn thành một đuờng cong khép kín và hình thể bất kỳ ra sao, và sau đó nhúng vào nước nhớt, như là nước xà bông, thì khi lấy ra sẽ có được một mặt có diện tích tối thiểu và điều này có thể chứng minh được căn cứ trên nguyên lý sức căng mặt dàn. Tuy Plateau chỉ là một nhà vật lý học cỡ trung bình, chưa tìm ra được một định luật nào đáng kể, nhưng nhờ thí nghiệm ấy mà bài tính toán học thuần lý này từ đó được mang tên là bài toán của Plateau. Bạn đọc có thể làm thí nghiệm này một cách dễ dàng và có thể uốn cong đường khép kín theo nhiều kiểu khác nhau để thấy hình dáng của nhiều mặt khác lạ, cùng chung tính chất là có diện tích tối thiểu, chẳng hạn như theo Hình 12 là hình Catenoid.

Trong các bộ môn toán học, Hình học là một môn chính xác nhất. Hơn nữa, vì tính chất tuyệt hảo của các hình, như hình tròn, hình cầu, hình lục lăng đều, vân vân ... mà các hình thể này được tạo hoá thể hiện trong thiên nhiên. Như đêm rầm, ngửng đầu nhìn lên không trung, ta thấy mặt trăng hình tròn. Đứng bên bờ ao, nghe tiềng cá đớp ánh trăng, nhìn xuống ta cũng thấy những gợn nước hình tròn. Sáng sớm ra vườn, cắt một quả dứa hay hái một trái khế, ta cũng thấy vỏ dứa có mắt xếp thành những hình lục lăng kề nhau, múi khế thành hình ngũ giác. Bông hoa hướng dương, những hạt cũng được xếp thành hình soắn ốc như trên các vỏ ốc đẹp tuyệt vời. Con ong làm tổ cũng theo hình lục lăng đều vì trong tạo hoá muốn xếp những hình có cạnh đều liền với nhau mà không có khoảng trống như trường hợp lát gạch hoa, thì ta chỉ có thể chọn một trong ba hình là hình tam giác đều, hình vuông và hình lục lăng đều, và loài ong đã chọn hình lục lăng vì hình này gần với thân ong, và kiến tạo tổ cũng đỡ tốn kém sáp ong nhất.

Bài toán mặt diện tích tối thiểu chạy qua một đường cong khép kín cũng chỉ là một bài toán có tự nhiên trong trời đất, và nếu Lagrange không đặt ra vào năm 1760 thì thế hệ sau thế nào cũng có người nghĩ đến. Tuy vậy, như đã nói ở trên, phải đến cuối thế kỷ thứ 19, các nhà toán học mới tìm ra được một số mặt có diện tích tối thiểu (minimal surfaces). Phương trình tổng quát của những mặt này nghiệm đúng phương trình bậc hai riêng phần của Lagrange, nhưng tìm ra một mặt phẳng đặc biệt chạy qua một đường cong khép kín bất kỳ thì lời giải vẫn chưa tìm ra được mặc dầu thử nghiệm đã chứng tỏ rằng có sự hiện hữu của mặt tối thiểu.

Một số những mặt tối thiểu, được mang tên những nhà toán học đã tìm ra như là Enneper, Schwarz, Dupin, ... đã được tạo thành mô hình thạch cao và để tại thư viện toán học của Đại học Princeton. Ở trường Đại học Sorbonne ở Paris, phân khoa toán cũng lưu trữ một số mô hình các mặt hình học, trong đó có nhiều mặt diện tích tối thiểu như trên Hình 13.

Bẵng đi một thời gian, phải tới khoảng những năm 1926-1928, mớì có bài đăng lời giải của giáo sư René Garnier ơ Đại học Paris thích hợp cho đường khép kín hợp bởi những đoạn thẳng gấp khúc. Lời giải trọn vẹn được tìm ra bởi hai nhà toán học Hoa Kỳ là các giáo sư J. Douglas và Tibor Rado vào năm 1929.

Từ nhỏ tôi đã thấy say sưa khi học ở trung học phải giải những bài toán hình học thật khó khăn. Lên đại học, tôi phải vào tận Nghệ An để học Toán Học Đại Cương với giáo sư Nguyễn Thúc Hào, lúc đó trong thời kỳ kháng chiến chống Pháp. Giáo sư Hào có bằng cử nhân Toán và đặc biệt ông có bằng cao học về “Giải Tích Cao Cấp” (Analyse Supérieure) . Ông thường nói là ước chi ông cũng được học môn “Hình Học Cao Cấp” thì thật là đầy đủ vì ông coi đó như là những môn chính của Toán học. Vào niên học 1953-1954, ở Pháp có 17 Khu đại học, nhưng chỉ có hai đại học là Đại học Paris và Đại học Marseille là cấp chứng chỉ Hình Học Cao Cấp, được kể là bằng cao học (Diplôme d’études supérieures). Lúc đó tôi đang theo học ở Trường Sĩ Quan Không Quân Pháp ở Salon de Provence nên ghi tên học môn này ở Đại học Marseille và ngoài việc được ngắm nhìn và làm quen với nhiều mặt diện tích tối thiểu, đôi khi tôi ngắm nhìn và thấy thích thú vì tưởng như những màn sương rơi vương trên cành lá, mà lại được học về phép tính biến thiên để truy tầm những kết quả tối ưu, nhiều năm sau này tôi áp dụng vào phương pháp tính qũy đạo. Giờ đây, những mô hình toán học mà tôi làm quen khi xưa, và vì không nhìn ngay thấy sự ứng dụng nên chỉ coi như là những hình đẹp trong thiên nhiên, nay đã được đưa dần vào hội hoạ và kiến trúc trong những thế kỷ 20 và 21.

Lời Tiên Tri của Voltaire

Khi tôi mới ra đời, ở những năm bắt đầu năm ba mươi của thế kỷ 20, Viện Đại Học Chicago là nơi quy tụ những nhân tài về toán học và khoa học. Nơi đây về sau này là nơi đã thực nghiệm thành công sự tạo ra năng lượng nguyên tử. Trong bộ môn toán học, dưới sự hướng dẫn của giáo sư G. A. Bliss, một loạt luận án tiến sĩ đã được đều đều viết ra trong mấy năm liền chung quanh đề tài “Phép Tính Biến Thiên” (Calculus of Variations).

Như ở đoạn trên đã viết, môn này được khởi sự bởi những bài toán đố của hai anh em ông Bernouilli, và thực sự được khai triển bởi người học trò của ông Bernouilli em là nhà thiên tài toán học Euler. Nhà toán học này đã tìm ra được điều kiện cần thiết để cho bài toán có lời giải cho trị số tối thiểu, chẳng hạn cho đường giây tuột dốc với thời gian ngắn nhất hay cho một đường cong quay tròn để tạo ra một mặt có diện tích nhỏ nhất. Mới đầu phép giải bài toán này chỉ được coi như là một định lý toán học ở trong bộ môn giải tích đã có hàng trăm định lý khác. Phần khác, phép tính biến thiên chỉ dùng để tìm lời giải cho một số bài toán về hình học hay cơ học như hai bài toán vừa nói ở trên. Những áp dụng trong thực tế, nói cho đúng ra thì không có gì nhiều. Trong lịch sử môn toán học, vào những năm đầu của thế kỷ thứ hai mươi, phép tính biến thiên không được chú trọng đến vì vấn đền này được coi như là đã giải quyết xong. Nhưng một lý thuyết toán học nào cũng có những trường hợp gọi là trường hợp bất thường. Tỷ dụ như đã nói ở trên, một hàm số y = f(x) , liên tục cho biến số x ở trong khoảng từ x = a, cho đến x = b, sẽ qua một trị số cực đại hay cực tiểu khi đạo hàm triệt tiêu nghĩa là : δy = 0. Theo như đồ thị trên Hình 14 thì ở điểm cực đại hay cực tiểu, ta có tiếp tuyến nằm ngang với trục hoành độ như ở những điểm x1 và x2 .

Nhưng cũng theo hình này thì ở điểm x3 , hàm số cũng liên tục và có trị số cực đại tuyệt đối, nghĩa là còn lớn hơn trị số cực đại ở điểm x1. Vậy mà ở điểm này, tiếp tuyến với đường cong không những không nằm ngang mà lại không liên tục. Ngoài ra, cũng theo Hình 14, điểm cho trị số cực tiểu tuyệt đối không phải là điểm x2 , khi tiếp tuyến với đường cong nằm ngang mà lại ở điểm tận cùng khi x = b.

Trong phép tính biến thiên cũng vậy, định lý của Euler cũng chỉ là một định lý cho điều kiện cần thiết. Cuối thế kỷ 19, nhiều nhà toán học lỗi lạc như T. W. Weierstrass đã có những đóng góp xuất sắc về những điều kiện cần và đủ cho bài toán có lời giải tối thiểu. Nhóm sinh viên tiến sĩ của giáo sư Bliss ở Chicago sau đó đã khai triển tận cùng mọi khía cạnh của phép tính biến thiên và tất cả những luận án của họ nay được kể là những công trình căn bản. Tới những năm bắt đầu thập niên bốn mươi, kỹ nghệ được mở mang và những nhu cầu của cuộc đại chiến thế giới đã làm cho con người luôn luôn nghĩ đến chuyện làm sao cho mình vừa mạnh, vừa nhanh lại vừa ít tốn kém tài lực và nhân lực. Nói tóm lại trong đời sống thực tế đã có những nhu cầu đòi hỏi sự áp dụng của toán học, đặc biệt là phép tính biến thiên.

Khi những khoa học gia bắt đầu dùng những định lý tìm ra bởi nhóm Chicago, bắt nguồn từ những lý thuyết căn bản của Euler, Jacobi và Weierstrass, thì người ta mới nhận ra rằng đem áp dụng vào thực tế không phải hoàn toàn suông sẻ. Chẳng hạn, dùng cho sự vận chuyển trên đại dương trong thế chiến, trên mặt biển theo hình cầu, đường ngắn nhất giữa hai điểm A và B là đường theo vòng tròn lớn, gọi là trực đạo, nhưng nếu muốn tránh những miền có đặt thủy lôi, và những đường tuần phòng của tầu ngầm địch thì phải đi đường vòng thích nghi nhất, nghĩa là đường ngắn nhất mà không đi qua những vùng bể nguy hiểm. Lấy một thí dụ khác, trong sự vận chuyển hàng không, người ta có thể chứng minh được rằng nếu dùng phi cơ có máy phản lực thì khi dùng một số nhiên liệu đã hạn định trước, tầm máy bay càng đi xa khi phi cơ càng bay cao. Mặt khác, muốn đốt cháy nhiên liệu trong máy phản lực, người ta cần đến không khí, mà chất liệu này càng lên cao càng bớt đi, muốn trộn đủ nhiên liệu đốt và không khí, người ta cần phải làm máy tua bin thật mạnh để hút và ép không khí. Tóm lại vì sức máy có hạn, cao độ bay cũng có giới hạn và tầm bay xa cũng theo đó mà bị giới hạn. Nói chung, bất kỳ một bài toán nào biểu thị một hiện tượng thực tế trong đời sống cũng có những giới hạn ép buộc. Như giả sử ta làm một cây cầu bắc qua một con sông, mà muốn cầu chịu đựng một sức xe 50 tấn chạy qua, để giảm bớt kinh phí kiến trúc, người ta cũng phải giới hạn số sắt và thép làm cầu đã ấn định trước, vì nếu không người ta cứ thả dàn dùng những thanh sắt càng dầy càng tốt để bảo đảm an toàn.

Bài toán biến thiên ở thời đại này không còn là bài toán giản dị tìm ra đường dây tuột nhanh nhất hay một đường cong để khi quay tròn sinh ra một mặt có diện tích tối thiểu, mà là bài toán tìm ra lời giải cho một hệ thống động lực phức tạp. Tôi lấy một thí dụ cụ thể để dẫn giải là bài toán thay đổi qũy đạo của một vệ tinh trong không gian sao cho đỡ tốn nhiên liệu nhất.

Như theo Hình 15, một vệ tinh nhân tạo hay một phi thuyền không gian, được tượng trưng bằng một điểm M, bay chung quanh trái đất với tâm điểm O, theo một qũy đạo khép kín. Qũy đạo này, thường thì là một hình bầu dục nhưng trong thí dụ này ta lấy trường hợp thật dản dị là một hình tròn nằm trong mặt phẳng xích đạo. Nay muốn dùng phi thuyền có máy chụp hình để quan sát một diện tích lớn trên trái đất thì lý tưởng ra phải đặt phi thuyền vào một qũy đạo tròn cao hơn trước và nằm nghiêng với mặt phẳng xích đạo, chẳng hạn theo góc 300 . Như thế, trong khi bay vòng, ta có thể quan sát hay dùng máy để chụp hình những miền ở vĩ tuyến gần Bắc cực hay Nam cực vì một nửa qũy đạo sẽ ở Bắc bán cầu và một nửa ở Nam bán cầu. Mặt khác, theo lý thuyết chuyển động. mặt phẳng qũy đạo có hướng cố định trong không gian mà ở dưới thì trái đất lại quay đều chung quanh trục Nam Bắc. Như thế ta có thể chụp hình toàn thể địa cầu khi trái đất quay tròn làm cho các múi kinh tuyến lần lượt hiện ra trên vùng quan sát.

Muốn di chuyển phi thuyền từ một qũy đạo đầu tiên gọi là Q1 , sang qũy đạo sau cùng gọi là Q2 , người ta phải cho phi thuyền rời qũy đạo nguyên thủy ở một điểm nào đó, gọi là điểm I . Ở điểm này, ta phải dùng hoả tiễn, gắn ở phi thuyền cho khai hỏa để cháy trong vài phút tùy theo ngắn hay dài để tạo ra một sức đẩy theo một chiều hướng nào đó với mục đích chuyển phi thuyền sang một qũy đạo gọi là qũy đạo chuyển vận, ghi là qũy đạo C. Sau đó, theo nguyên lý rơi (hay là bay) trong không gian, dưới hấp lực của trọng trường trái đất, phi thuyền sẽ tới gặp qũy đạo tận cùng ở điểm J. Ờ điểm này ta lại dùng hoả tiễn với khoảng thời gian cháy và chiều hướng cho sức đẩy để làm sao cho phi thuyền chuyển hướng bay vào qũy đạo Q2 như đã định trước. Trên đây ta đã mô tả sự chuyển vận phi thuyền từ qũy đạo Q1 sang qũy đạo Q2 . Nhưng khi thực hiện ta có thể chọn bất kỳ một điểm I nào để khởi đầu. Mặt khác ta cũng có thể chọn trên qũy đạo Q2 một điểm J bất kỳ nào để làm điểm tận cùng.. Phương sách để chọn lựa hai điểm I và J thật là vô tận. Tính môt cách thô sơ, chia vòng tròn ra làm 3600 , không kể những vị trí lẻ ở giữa những độ liên tiếp, thì chỉ chọn hai điểm I và J không thôi, ta có tất cả là 360x360 = 129 600 lối chọn khác nhau. Sau nữa giữa những điểm I và J ta có thể chọn qũy đạo chuyển vận C bằng nhiều cách. Chẳng hạn ta có thể hạn định giờ bay ngắn hay dài giữa những điểm I và J. Muốn cho dễ hiểu ta làm bài toán thô sơ như sau: Muốn tính chu kỳ P, tức là thời gian bay trọn một vòng trên qũy đạo tròn chung quanh trái đất thì ta có thể dùng công thức thật dản dị sau đây:

P = [ 1 + (h/R) ]3/2 x 84,489 phút

Ở công thúc này, R = 6378,135 km là bán kính trái đất và h là cao độ của qũy đạo. Lấy tỷ dụ qũy đạo thấp đầu tiên có cao độ h = 400 km. Thời gian bay vòng quanh qũy đạo này, tính theo công thức trên sẽ là P1 = 92,56 phút. Nay ta muốn chuyển sang một qũy đạo cao hơn với h = 800 km để từ phi thuyền tầm nhìn xa sẽ lớn hơn, thì theo công thức trên, chu kỳ để bay trọn một vòng trên qũy đạo mới sẽ là P2 = 100,87 phút. Nay tính trung bình, thời gian bay từ qũy đạo này sang qũy đạo khác, nghĩa là từ vị trí I tới vị trí J bằng một nửa chu kỳ trung bình của hai qũy đạo. Tính giản dị, thời gian bay này là 48 phút. Thời gian này chưa chắc đã là thời gian tốt nhất. Vì vậy muốn có sự lựa chọn để lấy qũy đạo đỡ tốn nhiên liệu nhất, ta tính nhiều qũy đạo chuyển vận từ vị trí I tới vị trí J, có qũy đạo mất lâu hơn 48 phút và có qũy đạo ngắn hơn 48 phút. Tỷ dụ ta tính 30 qũy đạo khác nhau, qũy đạo nhanh nhất mất 33 phút và qũy đạo chậm nhất mất 62 phút. Như vậy, nói sơ sơ, muốn đi từ qũy đạo Q1 sang qũy đạo Q2 ta có thể dùng trong sự chọn lựa qũy đạo tối ưu một số đường bay là 360x360x30 = 3.888.000 tức là gần 4 triệu đường đi khác nhau. Như thế, đường trời muôn vạn nẻo, chọn đường nào cho có lợi? Giờ nói đến chuyện thế nào là tối lợi, hay tối ưu? Nếu tính đường bay cho một phi cơ phản lực khu trục, đang bay từ cao độ tuần phòng, cần lên cao độ lớn hơn để chặn địch thì phãi tính đường bay nhanh nhất, bất kể tốn kém về nhiên liệu. Ngược lại, cho một phi cơ tuần thám, dùng một số nhiên liệu dự trữ sẵn, thì phải tính đường bay sao cho thời gian bay có trị số tối đa. Trong sự điều khiển vệ tinh và phi thuyền không gian ta có thể dùng hai mục tiêu. Nếu muốn quay một vệ tinh nhân tạo, từ vị thế này sang vị thế khác, chẳng hạn để đổi hướng nhắm một vì sao, hay để truyền tín hiệu về trái đất, thì ta tìm lối quay vận chuyển nhanh nhất. Cho những tác động này, dùng những động cơ phản lực nhỏ, sự tốn kém nhiên liệu không phải là vấn đề quan trọng. Nhưng khi muốn vận chuyển vệ tinh hay phi thuyền không gian, từ qũy đạo này sang một qũy đạo khác, rất tốn kém nhiên liệu, thì phải tìm phương pháp để tiết kiệm nhiên liệu. Vì thế, sự lựa chọn hai điểm I và J trên Hình 15 và chọn qũy đạo vận chuyển C để nối hai điểm này phải làm sao để cho nhiên liệu đốt ở những điểm I và điểm J, khi cộng lại được giữ ở mức tối thiểu. Người đầu tiên đã giải bài toán này là nhà bác học người Đức W. Hohmann đã viết tài liệu Die Erreichbarkeit der Himmelskorper, có nghĩa là phương pháp để đạt tới các thiên thể, và được in ra năm 1925. Đây là bài toán thay đổi qũy đạo dản dị nhất như được biểu thị trên Hình 16. Hai qũy đạo Q1 và Q2 đều là qũy đạo tròn và nằm trong cùng một mặt phẳng. Theo phương pháp chuyển qũy đạo của Hohmann đề nghị thì hai điểm I và J là hai điểm xuyên tâm đối. Qũy đạo vận chuyển là một hình bầu dục tiếp xúc với hai qũy đạo khởi thủy và tận cùng ở những điểm I và J. Khi phi thuyền tới điểm I thì hoả tiễn đốt máy phản lực để tăng tốc độ làm cho phi thuyền rời qũy đạo Q1 để bay vào qũy đạo chuyển vận C. Cũng như thế, khi phi thuyền tới điểm J, nghĩa là đã đạt được cao độ của qũy đạo Q2 thì hoả tiễn lại phải đốt cháy trong khoảng thời gian cần thiết để tăng tốc độ phi thuyền tới tốc độ vừa đủ để bay vào qũy đạo này. Qũy đạo vận chuyển này được mang tên là qũy đạo Hohmann và đi theo đường này thì tổng số nhiên liệu cần thiết để thay qũy đạo ở những điểm I và J sẽ ở mức tối thiểu. Tuy Hohmannn đề nghị phương pháp này nhưng ông không chứng minh đó là qũy đạo tối ưu, nghĩa là ít tốn nhiên liệu nhất. Phải đợi hai mươi lăm năm sau vào khoảng đầu những năm năm mươi, khi con người bắt đầu nghĩ đến chuyện phóng những vệ tinh nhân tạo và thay đổi qũy đạo thì điều này mới được chứng minh tường tận.

Cho đến nay thì sự đóng góp vào phép tính tối ưu, bắt nguồn từ phép tính biến thiên, và sự áp dụng phương thức để tính những qũy đạo tối ưu, là do công trình nghiên cứu của nhiều người và nhiều nhóm. Về lý thuyết, đáng kể nhất là nhóm của giáo sư người Nga là ông L. S. Pontryagin và ba môn đệ của ông. Nhóm này xây dựng “Lý Thuyết Phương Sách Tối Ưu” (Theory of Optimal Process) vào khoảng những năm 1956-1961. Đại cương thì lý thuyết này tối tân hoá phép tính biến thiên của nhóm Chicago để khi áp dụng vào những bài toán thực nghiệm có nhiều sự ràng buộc, tìm ra lời giải được dễ dàng hơn. Giáo sư Pontryagin, vì những năm cuối của cuộc đời, ông bị mù loà nên mới xuất thần nghĩ ra định lý chính cho lý thuyết gọi là Nguyên Lý Tối Đa (Maximum Principle), và sau đó ông hướng dẫn cho các môn đệ, nay cũng là những vị cao niên, dùng môn giải tích cao cấp để chứng minh định lý này. Nhóm này được giải thưởng Lenin về khoa học vào năm 1962. Cũng vào những năm cuối của những năm năm mươi mà ở Đại học Canterbury ở một xứ hẻo lánh ở Nam bán cầu là New Zealand mà giáo sư D. F. Lawden đã viết một loạt bài về lý thuyết thay đổi qũy đạo với nhiên liệu tối thiểu. Lý thuyết của ông được dùng một cách tổng quát để vận chuyển những qũy đạo hình bầu dục ở không gian ba chiều nên qũy đạo tìm ra bởi Hohmann chỉ là một trường hợp rất đặc biệt. Tất cả những bài viết của giáo sư Lawden đều đã được đăng ở báo kỹ thuật của British Interplanetary Society và nguyệt san Astronautica Acta của Hàn Lâm Viện Không Gian Quốc Tế (International Academy of Astronautics) nên được nhiều người biết đến và ông được coi như là người đặt nền móng căn bản cho lý thuyết qũy đạo không gian tối ưu. Sau đó ông tập hợp tất cả những điều đã tìm ra để viết thành cuốn sách “Optimal Trajectories for Space Navigation” do nhà sách Butterworths ở London xuất bàn năm 1963. Sách này chỉ hai năm đã bán hết và đã là sách căn bản để dậy môn qũy đạo không gian tối ưu ở bậc đại học. Năm 1967, Viện Hàng Không và Không Gian Hoa Kỳ (American Institute of Aeronautics and Astronautics) thành lập “Giải Cơ Học và Điều Khiển Phi Hành” (Mechanics and Control of Flight Award). Giải này được phát mỗi năm cho một người và giáo sư Lawden là người đầu tiên được tặng giải. Tuy vậy vì tư tưởng chính trị, ông không được cấp chiếu khán vào Hoa Kỳ kịp thời nên nhờ hai giáo sư John V. Breakwell ở Đại học Stanford và giáo sư Georges Leitmann là khoa trưởng ở Đai học California ở Berkeley lĩnh hộ.

Hai thập niên sáu mươi và bẩy mươi là những năm mà các nhà khoa học và kỹ thuật chú ý đến sự khảo cứu về những phương pháp tối ưu và những áp dụng đặc biệt trong chuyển động không gian. Về lý thuyết thì có phương sách tối ưu theo kiểu Pontryagin nay được gọi là Lý Thuyết Điều Khiển Tối Ưu (Optimal Control Theory). Có hàng loạt luận án tiến sĩ, sách giảng dậy, và cả báo kỹ thuật chuyên môn được đề ra hay xuất bản về môn này. Về qũy đạo tối ưu thì nay đã có mấy trăm bài khảo cứu được viết ra trong khoảng hai mươi năm nhưng phần lớn đều là những bài khảo xát về những khiá cạnh nhỏ của lý thuyết của giáo sư Lawden. Nhưng trong khoảng những năm 1967-1970 thì có hai nhân tài người Pháp xuất hiện là các ông Christian Marchal và Jean-Pierre Marec đều là cựu sinh viên lỗi lạc của Trường Bách Khoa (École Polytechnique) và sau này đậu tiến sĩ quốc gia toán học ở Đại học Paris. Thay vì chỉ căn cứ vào cuốn sách của giáo sư Lawden rồi khai thác những phần đặc biệt chưa được đề cập đến, các ông Marchal và Marec đã khảo xát lý thuyết chuyển qũy đạo tối ưu một cách tổng quát. Họ đã đạt được những kết quả thật xuất sắc và toàn diện trong đó chứa đựng lý thuyết của Lawden. Những nhà khoa học này đã thành công vì một mặt họ có căn bản toán học vững chắc, và mặt khác họ được học chu đáo về môn cơ học thiên thể mà từ một trăm năm nay hai nước Pháp và Nga là những nước có truyền thống giảng dậy kỹ càng nhất. Giờ đây có thể nói là Lý thuyết qũy đạo không gian tối ưu, bắt đầu từ Hohmann vào năm 1925, và được khai triển bởi Lawden vào những năm 1956-1960, đã được coi như hoàn mỹ khi chúng ta bước vào phần cuối của thế kỷ hai mươi. Đường trời tuy có muôn vạn nẻo, nhưng nhờ óc thông minh và tính kiên trì trong công cuộc tìm tòi khảo cứu, nay loài người đã biết tìm thấy hướng đi.

Cũng như ở cuối những phần trên, tôi kết luận chương sách này với những kỷ niệm riêng. Là một người đã bắt đầu làm quen với những bài tính về qũy đạo từ năm 1962, tôi đã gặp và quen hầu hết những khoa học gia lỗi lạc nhất về môn này.

Giáo sư người Nga, L. S. Pontryagin là người của thế hệ trước, nay đã qua đời tôi chỉ biết ông qua cuốn sách để lại. Nhưng tháng 5 năm 1991 tôi đã được gặp đại đệ tử của ông, cũng là người lớn tuổi hơn, là tiến sĩ V. G. Boltyanski trong một buổi họp một tuần lễ ở Đức quốc. Vào dịp này Viện Toán Học Mathematisches Forschunginstitut Oberwolfach đã mời vào khoảng ba mươi nhà toán học trên thế giới về Phép Tính Biến Thiên họp và ăn ở một tuần lễ ở miền núi Oberwolfach ở vùng Black Forest để cùng thảo luận về môn này với một số nhà toán học Đức quốc. Những bài thảo luận cũng đã được in thành sách để làm tài liệu. Sau khi Liên Sô xụp đổ, nhiều nhà khoa học Nga được dễ dàng xuất ngoại. Đầu năm 1995, nhân vật thứ ba của nhóm Pontryagin là giáo sư R. V. Gamkrelidze, có lẽ là người thông thạo Anh ngữ nhất trong nhóm, đã được mời tới Đại học Michigan, là nơi tôi đang giảng dậy, hai tuần để trao đổi ý kiến. Tôi dự một bài thuyết trình của ông về “Lịch Sử tìm ra Nguyên Lý Tối Đa” thì được biết là khởi đầu có mấy sĩ quan của Bộ Quốc Phòng đến gặp giáo sư Pontryagin và hỏi ý kiến ông về phương pháp điều khiển để đạt được kết quả tối ưu khi có sự giới hạn. Vấn đề này nếu dùng phép tính biến thiên cổ điển để tìm lời giải đáp thì rất phức tạp. Theo giáo sư Gamkrelidze thì tiến sĩ Pontryagin đã mất hai đêm không ngủ mới nghĩ ra Nguyên Lý Tối Đa. Sau đó nhóm của ông cũng mất thêm mấy năm nữa để viết một bài giới thiệu lý thuyết này, đi từ trường hợp dễ đến trường hợp tổng quát.

Giáo sư Lawden, nguyên là người Anh quốc, có một thời gian di cư sang New Zealand, nay lại trở về Đại học Birmingham ở quê hương. Sau này có vẻ ông không còn thiết tha đến môn qũy đạo học và trở về môn Cơ Học Nguyên Lượng (Quantum Mechanics). Tôi chưa được gặp ông, nhưng vào khoảng năm 1970 tôi viết một bài khảo cứu đề là “Integration of the Primer Vector in a Central Force Field” gửi đăng ở báo quốc tế “Journal of Optimization Theory and Applications”. Luật lệ của báo này là phải có một chuyên gia đọc bài và ký tên đỡ đầu. Toà báo đã gửi bản thảo của tôi cho ông duyệt và khi bài in ra có chua thêm là “communicated by D. F. Lawden”. Đây cũng là điều khá đặc biệt vì ít khi tôi thấy ông hỗ trợ bài của ai.

Giải Cơ Học và Điều Khiển Phi Hành gồm có một huy chương để choàng vào cổ, một bản tuyên dương và một huy hiệu để cài trên ve áo. Về giáo sư Lawden, người đầu tiên được trao giải này, thì trên huy chương có khắc chữ và trên bằng có in câu tuyên dương “For pioneer work and outstanding contributions to the field of space flight optimization”, tạm dịch là “Cho những công trình khai phương và đóng góp xuất sắc cho môn qũy đạo không gian tối ưu”. Hai giáo sư bạn lĩnh giải hộ cho ông thì giáo sư John V. Breakwell được chọn lĩnh giải năm 1972 và giáo sư George Leitmann là khôi nguyên năm 1984. Tôi thường gặp giáo sư Breakwell hàng năm trong những Hội nghị về Cơ Học Vũ Trụ (Astrodynamics). Ông đã qua đời cách đây mấy năm nhưng ông đã để lại nhiều công trình đặc sắc và nhiều cựu sinh viên tiến sĩ của ông ở Đại học Stanford đã rất thành công trong ngành khoa học không gian. Lần cuối cùng tôi gặp giáo sư Leitmann là ở tuần lễ hội thảo ở Oberwolfach. Ông cho biết là trong chương trình trẻ trung hóa ở các đại học California ông đã cùng một số lớn các giáo sư ở Đại Học Berkeley về hưu trước tuổi tối đa.

Tôi quen biết khá thân với nhóm khoa học gia ở Pháp. Năm 1968 tôi chuyển từ Đại học Colorado tới Đại học Michigan và trước khi đi đã mời được Christian Marchal từ Paris sang Colorado thay thế môt năm. Vào niên học 1974-1975 tôi cũng sang Pháp để làm việc chung với ông Jean-Pierre Marec, lúc đó là một trong những giám đốc ở cơ quan Office National d’Etudes et de Recherches Aérospatiales (ONERA) ở Châtillon gần Paris và cũng dậy thế cho ông một khoá ở Trường SupAéro ở Toulouse. Nhân dịp này ông cũng nhờ tôi coi lại bản thảo cuốn sách “Optimal Space Trajectories” của ông, sau này do nhà xuất bản Elsevier Scientific Publishing Company ở Amsterdam in ra năm 1979. Cuốn sách này đầy đủ và ở trình độ cao hơn cuốn sách của giáo sư Lawden nên bây giờ được coi như là cuốn sách chính và độc nhất về môn này trên thế giới. Trong phần mở đầu, tiến sĩ Marec cũng ân cần cám ơn tôi đã đọc bản thào và góp ý kiến. Trong bài giới thiệu cuốn sách của Marec, viết bởi ông Pierre Contensou là Chủ Tịch cơ quan ONERA có một câu mở đầu trích từ bài viết của nhà văn và triết gia Francois-Marie Arouet, bút hiệu là Voltaire (1694-1778) : “Notre voyager connaissait merveilleusement les lois de la gravitation, et toutes les forces attractives et répulsives. Il s’en servait si à propos, que tantôt à l’aide d’un rayon de soleil, tantôt par la commodité d’une comète, il allait de globe en globe, lui et les siens, commme un oiseau voltige, de branche en branche” (Người du hành của chúng ta biết một cách nhiệm mầu những luật hấp dẫn vạn vật, những sức hấp và sức đẩy. Khách không gian đã khéo biết lợi dụng, lúc thì nương một tia sáng mặt trời, lúc dựa theo đà một ngôi sao chổi, cùng với quyến thuộc, khách đi từ tinh cầu nọ tới tinh cầu kia, như một con chim bay truyền cành.) Câu viết này thật là lời tiên tri vì nay trong phương sách tìm qũy đạo tối ưu trong chiều hướng ít tốn kém nhiên liệu, đôi khi muốn thay đổi qũy đạo, người ta cho vệ tinh bay sát một hành tinh ở giữa đường để nhờ sức hấp của hành tinh này làm gia tăng tốc độ và lấy đà để đi tới hành tinh khác ở xa hơn. Một phương sách khác được dùng khi chuyển từ qũy đạo cao tới qũy đạo thấp khi người ta cần phải giảm bớt tốc độ phi thuyền, thì có một cách là thay vì dùng hỏa tiễn chạy ngược chiều để giảm tốc độ, người ta cho phi thuyền bay vào bầu khí quyển của hành tinh và dùng sức cản gây ra để hãm tốc độ. Để lấy một thí dụ giản dị, ta coi trên Hình 17 biểu thị qũy đạo của vệ tinh Magellan khi bay tới Hoả Tinh. Theo nguyên tắc thì khi bay tới cận điểm là điểm P, ta phải cho máy hoả tiễn chạy ngược chiều để gây ra một sức cản lớn làm giảm tốc độ để vệ tinh quan sát này bay vào qũy đạo bầu dục PQ chung quanh Hoả Tinh.

Muốn gây ra sức cản này cũng khá tốn kém nhiên liệu, và nếu có cách nào giảm thiểu thì có thể dùng trọng lượng dư ra để dùng cho những dụng cụ quan sát, đo lường, truyền tin hay để dùng cho những sự điều khiển khác. Phương pháp tiết kiệm nhiên liệu đã được cơ quan điều khiển Jet Propulsion Laboratory ở Pasadena, California dùng để cho vệ tinh vào qũy đạo của Hoả Tinh là làm cho vệ tinh tới hành tinh này ở điểm thấp hơn cao độ của điểm P để đi vào trong bầu khí quyển dù rất mỏng manh nhưng cũng đủ để gây ra một sức cản rất nhẹ. Nhờ đó mà vệ tinh đi vào một qũy đạo chung quanh Hoả Tinh, lúc đầu thật rộng, và viễn điểm còn ở cao hơn viễn điểm dự trù Q rất nhiều. Nhưng mỗi lần vệ tinh quay trở lại điểm P, là điểm thấp nhất với sức cản tăng lên theo tỷ lệ thuận với tỷ trọng của bầu khí quyển, vận tốc lại được giảm đi làm qũy đạo thu hẹp dần lại. Người ta có thể dùng toán học để chứng minh rằng điểm P, là cận điểm của qũy đạo hình ellip, gần như đứng nguyên trong khi đó điểm Q là viễn điểm thì xuống thấp dần. Khi đã tới đúng cao độ chọn lựa cho điểm Q thì ở đó ta cho chạy máy hoả tiễn một thời gian ngắn để tăng vận tốc lên chút ít và như thế sẽ đưa điểm P lên cao hơn bầu khí quyển và hoàn tất phương sách dùng bầu khí quyển để bắt vệ tinh.

Theo Ánh Tinh Cầu

Nhiều người ở trong lớp tuổi của tôi, lớn lên và ra đời ở trong một thời đại có nhiều biến chuyển trên đất nước, đã từng giữ những chức vụ quan trọng trong chính quyền cũng như trong quân đội, đã viết những hồi ký, và những cuốn sách nếu viết trung thực sẽ là những tài liệu qúy giá cho đời sau. Riêng tôi thì chỉ viết những mẩu chuyện ngắn kể lại từng khoảng đời tầm học và phục vụ trong những ngành giáo dục và nghiên cúu khoa học của mình mà thôi. Những bài viết này tôi thu thập lai thành những tập sách, hướng nhiều về những bạn đọc trong giới học sinh và sinh viên của nước nhà.

Cuốn sách đầu tiên tôi đưa ra đã do nhà Xuất Bản Đại Nam in vào năm 1990 với đề là “Theo Ánh Tinh Cầu” . Có những lần, ngồi nhìn tấm bìa sách vẽ một em bé thả diều, tôi đã nghĩ rằng vô tình người bạn trẻ là hoạ sĩ trang trí cho cuốn sách đã tả cuộc đời trôi nổi của tôi, dù có lên xuống theo vận nước như con diều theo gió sớm, nhưng lúc nào cũng cố gắng để vươn lên cao. Tôi nghĩ là hành xử trong cuộc đời, miễn là có ý niệm tốt đẹp là trau dồi tài năng để có dịp thì dấn thân, phục vụ cho quốc gia và dân tộc được hữu hiệu hơn, thì dù có gặp khó khăn, cản trở, với kiên trì và tạo điều kiện thích nghi với hoàn cảnh thì thế nào cũng tiến tới thành công.

Các toán gia về môn Lý Thuyết Điều Khiển Tối Ưu, khi tìm những lời giải cho một bài toán qũy đạo tối ưu, cũng gặp những trường hợp tương tự. Mỗi lần thay đổi hướng bay, dù cho một phi cơ bay trong bầu khí quyển của trái đất, hay cho một phi thuyền không gian, người ta phải tạo ra một lực để quay vec-tơ vận tốc theo chiều hướng và lực này khá lớn nếu vận tốc lớn. Vì vậy, nếu là phi thuyền không gian đang vận chuyển trên một qũy đạo hính ellip thì nên đợi cho phi thuyền tới viễn điểm, ở nơi đó vận tốc có trị số tối thiểu, đó là thời điểm thuận tiện để quay vec-tơ vận tốc. Mặt khác, nếu phi thuyền không gian có cánh

(xem tiếp